A „Beírt kör” című lap ide irányít át. Hasonló címmel lásd még: Beírt kör (sokszög).
A geometriában a háromszögbeírt köre vagy a háromszögbe írt kör olyan kör, amely a háromszög minden oldalát érinti, középpontja a belső szögfelezők metszéspontja, sugara a kör középpontját és az érintési pontokat összekötő szakasz (azaz a középpontból az oldalakra állított merőleges szakasz hossza). A beírt körnek nagy a jelentősége a háromszögek geometriájában.
Hozzáírt kör
A hozzáírt kör a háromszög egyik oldalát és a másik két oldalának meghosszabbítását érintő kör. Minden háromszögnek három hozzáírt köre van.
A hozzáírt körök középpontjai megkaphatók a háromszög egy belső és a háromszög két másik szögéhez tartozó külső szögfelező metszéspontjaként. Ezek a pontok olyan háromszöget alkotnak, aminek magasságpontja a beírt kör középpontja.
A beírt kör középpontja
Tétel: A háromszög beírt körének középpontja a háromszög három szögfelezőjének közös metszéspontja.
Bizonyítás: Az α szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az AB és a CA oldalaktól. Hasonlóan, a β szög felezőjének pontjai egyenlő távolságra fekszenek a BC és az AB oldalaktól. A két szögfelező metszéspontjai tehát egyenlő távolságra vannak mindhárom oldaltól, ezért a harmadik szögfelezőnek is át kell mennie ezen a ponton.
A beírt kör a háromszög minden oldalát belülről érinti, míg a hozzá írt körök kívülről érintenek egy-egy oldalt, és a két oldalegyenest a háromszögön kívül. Mindegyik kör középpontja a háromszög nevezetes pontjai közé tartozik.
A sugár egy oldal és a rajta fekvő két szög ismeretében is kiszámítható:
A hozzáírt körök sugara
A BC oldalhoz tartozó hozzáírt kör sugara:
A másik két hozzáírt kör és sugara hasonlóan számítható.
A Hérón-képlet alapján:
.
Hasonlóan, a másik két hozzáírt kör sugara:
és .
Érintési pontok
A továbbiakban jelöli a C csúcs és az a oldalhoz írt kör a, illetve b oldalegyenesen levő érintési pontjainak távolságát. Hasonlóan, jelöli a B csúcs és az a oldalhoz írt kör a, illetve c oldalegyenesen levő érintési pontjainak távolságát. Analóg módon jelöljük a csúcsok és a másik két hozzáírt kör érintési pontjainak távolságát.
,
,
.
Ha az érintési pontokat összekötjük a velük szemben fekvő csúccsal, akkor a kapott egyenesek egy ponton mennek át, a Nagel-ponton.