Predsnop skupova na topološkom prostoru ${\displaystyle X}$ je kontravarijantni funktor ${\displaystyle P:Otv_{X}^{\circ }\to X}$ iz kategorije ${\displaystyle Otv_{X}}$ kojoj su objekti otvoreni podskupovi od ${\displaystyle X}$, a morfizmi inkluzije, u kategoriju skupova ${\displaystyle Set}$.

Ponekad gledamo i predsnopove objekata u nekoj drugoj kategoriji. Npr. predsnop grupa na topološkom prostoru je kontravarijantni funktor iz ${\displaystyle Otv_{X}}$ u kategoriju ${\displaystyle Grp}$ grupa i homomorfizama grupa.

Ako kažemo predsnop na topološkom prostoru bez da kažemo predsnop čega, obično podrazumijevamo predsnop skupova.

Još općenitije, predsnopove možemo gledati na ma kojoj kategoriji ${\displaystyle C}$, umjesto kategorije ${\displaystyle Otv_{X}}$. Tako su predsnopovi skupova na kategoriji ${\displaystyle C}$ funktori ${\displaystyle C^{\circ }\to Set}$.

Neka je ${\displaystyle X\in Ob(C)}$. Tada je hom-funktor u prvom argumentu predsnop ${\displaystyle h_{X}=Hom(-,X):C^{\circ }\to Set}$ zadan pravilom ${\displaystyle Ob(C)\ni Y\mapsto Hom(Y,X)\in Ob(Set)}$ i ${\displaystyle (Mor(C)\ni f:Y\to Z)\mapsto (Hom(f,X):Hom(Z,X)\to Hom(Y,X),g\mapsto g\circ f)}$. Takav predsnop nazivamo reprezentabilnim predsnopom, a tako nazivamo i svaki predsnop za koji postoji i odabran je izomorfizam s funktorom tipa ${\displaystyle h_{X}}$.

Za danu malu kategoriju ${\displaystyle C}$ definiramo kategoriju ${\displaystyle {\hat {C}}}$ predsnopova skupova na ${\displaystyle C}$ ovako. Objekti su predsnopovi skupova, a morfizmi su prirodne transformacije funktora. Tada je korespodencija ${\displaystyle Ob(C)\ni X\mapsto h_{X}:=Hom(-,X):C^{\circ }\to Set,\,\,\,Mor(C)\ni f\mapsto (Hom(-,f):g\mapsto f\circ g)}$ kovarijantni funktor ${\displaystyle h:C\to {\hat {C}},X\mapsto h_{X}}$ koji zovemo Yonedino ulaganje. Yonedina lema u svom slabijem iskazu kaže da je taj funktor pun i vjeran (drugim riječima, ulaganje kategorija). Kako kategorija predsnopova skupova ima jako dobra svojstva (na primjer, dopušta kolimese i limese svih malih dijagrama) to ulaganje je jako korisno u matematici.

Korisno je da kategorija ${\displaystyle C}$ ima dodatnu strukturu Grothendieckove topologije na sebi koja omogućava da se izdvoje oni predsnopovi koji zadovoljavaju izvjesna svojstva ljepljenja u odnosu na tu Grothendieckovu topologiju. Takve predsnopove zovemo snopovima u odnosu na tu Grothendieckovu topologiju. Snopovi su jedan od central pojmova u modernoj matematici.

Konstrukciju ${\displaystyle C\mapsto {\hat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$ zovemo upotpunjenje kolimesima kategorije ${\displaystyle C}$ jer vrijedi sljedeće univerzalno svojstvo:

Teorem (Proposition 2.7.1 u^[1]) Neka su ${\displaystyle C,D}$ kategorije pri čemu D dopušta kolimese malih dijagrama. Tada se svaki funktor ${\displaystyle \eta :C\to D}$ razlaže na jedinstven način u kompoziciju ${\displaystyle C{\overset {h}{\longrightarrow }}{\hat {C}}{\overset {\widetilde {\eta }}{\longrightarrow }}D}$ gdje je ${\displaystyle h}$ Yonedino ulaganje i ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\hat {C}}\to D}$ je funktor koji čuva kolimese i kojeg zovemo Yonedino proširenje funktora ${\displaystyle \eta }$.

• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag 1994.