Noetherin teorem jest teorem u teorijskoj fizici koji povezuje simetrije i zakone očuvanja. Nazvan je po njemačkoj matematičarki Emmy Noether koja ga je prva izrekla i dokazala 1918. godine.^[1] Noetherin teorem glasi:

Za svaku kontinuiranu simetriju Lagranžijana fizikalnog sustava postoji odgovarajući zakon očuvanja koji tvrdi da je Noetherin naboj^{[još nedefiniran pojam]} očuvan kada vrijede jednadžbe gibanja.

Neformalno se može izreći na sljedeći način:

Ako sustav ima svojstvo kontinuirane simetrije, tada postoje odgovarajuće veličine koje su očuvane u vremenu.

Prema Noetherinom teoremu, invarijantnost zakona gibanja konzervativnog sustava na translacije (homogenost prostora) tako vodi do očuvanja zaleta (količine gibanja), invarijantnost na rotacije (izotropnost prostora) na očuvanje zamaha (kutne količine gibanja), dok invarijantnost na vremenske translacije (homogenost vremena) vodi do očuvanje energije.

Emmy Noether prvenstveno je bila matematičarka koja se bavila apstraktnom algebrom, kao i njezin otac Max Noether. Godine 1915. David Hilbert zamolio ju je za pomoć u pokušaju razumijevanja statusa očuvanja energije u općoj teoriji relativnosti.

Zakon očuvanja energije nije dobro definiran u općoj teoriji relativnosti, za razliku od klasične mehanike. Ipak, ako se prostor-vrijeme u području interesa smatra asimptotski ravnim, moguće je definirati zakon očuvanja energije. Ovaj važan aspekt opće relativnosti uvelike je pojašnjen Noetherinim teoremom.

Teorem ima važne primjene u mnogim granama fizike. Noetherin pristup identificiranja simetrija s očuvanim veličinama čini osnovu standardnog modela fizike čestica.^[2]

Izvorno, Noetherin teorem, odnosno Noetherin prvi teorem izrekao se koristeći varijacijski račun u Lagrangeovoj formulaciji analitičke mehanike u okviru klasične teorije polja.

Neka je zadana Lagrangeova funkcija koja ovisi samo o varijabli ${\displaystyle \phi }$ i gradijentu polja ${\displaystyle \nabla \phi }$, odnosno ${\displaystyle L:\phi \mapsto L(\phi ,\nabla \phi )}$ i neka postoji kontinuirana simetrija polja ${\displaystyle \phi \to \phi +\delta \phi }$ koja ostavlja Lagranžijan nepromijenjenim, tj. ${\displaystyle \delta L=0}$.

Varijacija ${\displaystyle L}$ po polju glasi:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta L&=\left({\frac {\delta L}{\delta \phi }}\right)\delta \phi +\left({\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}\right)\cdot \nabla \delta \phi \\[6pt]&=\underbrace {\left({\frac {\delta L}{\delta \phi }}-\nabla \cdot \left({\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}\right)\right)} _{\text{Euler-Lagrangeova jednadžba}}\delta \phi +\nabla \cdot \underbrace {\left({\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}\,\delta \phi \right)} _{\text{Noetherina struja}},\end{aligned}}}$$

gdje se u drugom koraku koristilo pravilo umnoška derivacije:

${\displaystyle f\,(\nabla g)=-\,(\nabla f)\,g+\nabla (fg).}$

Ukoliko vrijedi ${\displaystyle \delta S=0}$, prema principu stacionarnog djelovanja, lijevi član je po definiciji jednak nuli:

$${\displaystyle {\frac {\delta L}{\delta \phi }}-\nabla \cdot \left({\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}\right)=0.}$$

Ovo je Euler-Lagrangeova jednadžba odnosno jednadžba gibanja sustava.

Upravo zbog postojanja kontinuirane simetrije Lagranžijana, varijacija Lagranžijana iščezava ${\displaystyle \delta L=0}$, te ukoliko se zahtijeva da varijacija polja ${\displaystyle \phi }$ isčezava na rubu ${\displaystyle \delta \phi =0}$, desni član nestaje te ukoliko vrijede jednadžbe gibanja, preostaje samo desni član:

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}\,\delta \phi \right)=0.}$$

Ovo je iskaz Noetherinog teorema.

Izraz u zagradi $p_{\phi }:={\frac {\delta L}{\delta (\nabla \phi )}}$ se zove kanonska količina gibanja polja ${\displaystyle \phi }$.

Noetherina struja se definira kao $j:=p_{\phi }\,\delta \phi$ te Noetherin teorem glasi:

${\displaystyle \nabla \cdot j=0,}$

odnosno, teorem upravo govori kako je Noetherina struja očuvana ukoliko je Lagranžijan invarijantan na kontinuiranu simetriju ${\displaystyle \phi \to \phi +\delta \phi }$.

Za vremenski ovisne sustave vrijedi poopćeni izraz za Noetherinu struju:

${\displaystyle j^{\mu }=\sum _{i}{\frac {\delta L}{\delta (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\,\delta \phi _{i}-{\big (}L\,\delta x^{\mu }-F^{\mu }{\big )}.}$

Odnosno, Noetherin teorem sada glasi:

${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0.}$

Neka je zadana Lagrangeova funkcija za sustav s konačnim brojem stupnjeva slobode: $L=L(q,{\dot {q}},t),$ i neka postoji kontinuirana simetrija koordinata ${\displaystyle q\to q+\delta q(t)}$ koja ostavlja Lagranžijan nepromijenjenim, tj. ${\displaystyle \delta L=0}$.

Varijacija Lagranžijana glasi: $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta L&={\frac {\partial L}{\partial q}}\,\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\,\delta {\dot {q}}\\[2mm]&=\underbrace {\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)} _{\text{Euler-Lagrangeova jednadžba}}\delta q+{\frac {d}{dt}}\underbrace {\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\,\delta q\right)} _{\text{Noetherin naboj}},\end{aligned}}}$$ gdje se opet koristilo pravilo o složenoj derivaciji.

Opet, ukoliko varijacija Lagranžijana isčezava te vrijede jednadžbe gibanja, slijedi: ${\frac {d}{dt}}(p\,\delta q)=0.$ Noetherin naboj se definira kao $Q:=p\,\delta q,$ te vrijedi:

${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}=0}$.

Ovo je iskaz Noetherinog teorema u slučaju klasične mehanike čestica. Noetherin naboj je očuvan kada je Lagranžijan invariantan uslijed kontinuirane simetrije.

Poopćenje za vremenski ovisne sustave bi glasio Noetherin naboj glasi:

${\displaystyle Q=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\delta q^{i}-{\big (}{\mathcal {L}}\,\delta t-F{\big )}.}$

• nLab: Noether's theorem
• MathPages: Primjeri i povijesni kontekst