U matematici, kvaternioni su algebarsko proširenje kompleksnih brojeva. Za razliku od kompleksnih brojeva, kvaternioni imaju tri imaginarne jedinice, koje se označavaju s i, j i k i za koje vrijedi:

${\displaystyle \ i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$

Ova relacija je definicija imaginarnih jedinica kvaterniona.

Za razliku od kompleksnih i realnih brojeva, množenje kvaterniona nije komutativno i vrijedi:

${\displaystyle \ ij=-ji=k}$

${\displaystyle \ jk=-kj=i}$

${\displaystyle \ ki=-ik=j}$

Skup kvaterniona se označava sa ${\displaystyle \mathbb {H} }$ u čast irskom matematičaru Williamu Rowanu Hamiltonu, koji ih je prvi formulirao.

U trodimenzionalnom prostoru, jedinični vektori triju dimenzija zapisuju se pomoću kvaterniona.

Kvaternion ${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$, sastoji se od skalarnog dijela a i vektorskog dijela (kvaternion ${\displaystyle b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$).

Konjugacija je involucijska inverzna operacija, gdje operacija konugacije izvedena dvaput uzastopno vraća izvorni element. Za original ${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$, konjugat q* znosi ${\displaystyle q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} }$. Konjugat se također može izraziti matematičkim operacijama zbrajanja i množenja, što nije slučaj s kompleksnim brojevima:

${\displaystyle q^{*}=-{\frac {1}{2}}(q+\,\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\,\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\,\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} )~.}$

Operacija konjugacije može se koristiti za dobivanje skalarnog i vektorskog dijela kvaterniona. Skalarni dio dobiva se formulom ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(p+p^{*})}$ dok je vektorski dio jednak ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(p-p^{*})}$.

Kvadratni korijen umnoška kvaterniona i njegovog konjugata naziva se modulom ili normom kvaterniona. Modul predstavlja duljinu kvaterniona u prostoru:

${\displaystyle \|q\|={\sqrt {qq^{*}}}={\sqrt {q^{*}q}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$

Jedinični kvaternion je kvaternion kojemu je modul jednak 1. Operacija podjele kvaterniona i njegovog modula uvijek će dati jedinični kvaternion, još zvan i verzorom tog kvaterniona:

${\displaystyle U_{q}={\frac {q}{\|q\|}}}$

Polarne koordinate kvaterniona moguće je zapisati kao umnožak modula (duljine) i jediničnog kvaterniona: ${\displaystyle q=\|q\|\cdot U_{q}}$.

Recipročni kvaternion moguće je opisati kao količnik konjugata i norme:

${\displaystyle q^{-1}={\frac {q^{*}}{\|q\|}}}$

Članak Kvaternion koji govori o matematici je mrva: začetak enciklopedijskog članka. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Wikipedije.