${\displaystyle k}$-koalgebra (sinonim: kogebra) je par ${\displaystyle (C,\Delta )}$ u kojem je ${\displaystyle C}$ vektorski prostor nad poljem ${\displaystyle k}$ i ${\displaystyle \Delta :C\to C\otimes _{k}C}$ kounitalno koasocijativno preslikavanje kojeg zovemo komnoženje. Koasocijativnost znači da ${\displaystyle (\Delta \otimes _{k}id_{C})\circ \Delta =(id_{C}\otimes _{k}\Delta )\circ \Delta }$, a kounitalnost znači da postoji (pri tom nužno jedinstveno) ${\displaystyle k}$-linearno preslikavanje ${\displaystyle \epsilon :C\to k}$, koje zovemo kojedinicom koalgebre ${\displaystyle (C,\Delta )}$, i koje zadovoljava uvjet ${\displaystyle (\epsilon \otimes _{k}id_{C})\circ \Delta \cong id_{C}\cong (id_{C}\otimes _{k}\epsilon )\circ \Delta }$. U posljednjem identitetu ${\displaystyle \cong }$ označava jednakost preslikavanja do na identifikacije ${\displaystyle k\otimes C\cong C\cong C\otimes _{k}k}$. Mnogi autori uvode koalgebru kao trojku ${\displaystyle (C,\Delta ,\epsilon )}$, no u tome nema bitne razlike, s obzirom na to da je kojedinica (ako postoji) jedinstveno određena komnoženjem.

Pojam koalgebre se često gleda u većoj općenitosti u kojoj je ${\displaystyle k}$ komutativni prsten s jedinicom, a ${\displaystyle C}$ je ${\displaystyle k}$-modul. Još općenitije, kategorija vektorskih prostora može se zamijeniti ma kojom monoidalnom kategorijom ${\displaystyle (A,\otimes ,1)}$. U toj općenitosti, umjesto riječi koalgebra u monoidalnoj kategoriji ${\displaystyle (A,\otimes ,1)}$ često se rabi termin (unutarnji) komonoid u ${\displaystyle (A,\otimes ,1)}$. Taj pojam je dvojstven (u smislu dvojstvenosti u teoriji kategorija) pojmu (unutarnjeg) monoida.

Koalgebre su se najprije pojavile u algebarskoj topologiji, u radovima Heinza Hopfa i Normana Steenroda i u prvom sustavnom radu o Hopfovim algebrama Milnora i Moorea.^[1] U tim radovima, promatrane su koalgebre u kategorijama graduiranih vektorskih prostora.

• https://ncatlab.org/nlab/show/coalgebra