במתמטיקה, תורת שדות המחלקה מתארת את ההרחבות האבליות (כלומר, הרחבות גלואה עם חבורת גלואה אבלית) של שדות מקומיים ושדות גלובליים. חלק אחד של התורה מוקדש למיון ההרחבות האבליות; חלק נפרד של התורה, ברובו עדיין לא ידוע, מוקדש לבניות מפורשות שלהן.

יהא ${\displaystyle K}$ שדה מקומי או שדה גלובלי ויהא ${\displaystyle K^{s}}$ סגור פריד של ${\displaystyle K}$. חוץ מהמקרים ${\displaystyle K=\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ יש אינסוף הרחבות אבליות של ${\displaystyle K}$. הניסוחים המודרניים של תורת שדות המחלקה מאגדים את כל הטענות על ההרחבות האבליות הללו בעזרת ההרחבה האבלית המקסימלית, ${\displaystyle K^{ab}}$, שהיא איחוד כל ההרחבות האבליות של ${\displaystyle K}$ בתוך ${\displaystyle K^{s}}$.

ההרחבה ${\displaystyle K^{ab}/K}$ היא הרחבת גלואה אינסופית, וחבורת גלואה שלה, ${\displaystyle Gal(K^{ab}/K)}$, היא לכן חבורה פרו-סופית. החבורה ${\displaystyle Gal(K^{ab}/K)}$ היא האבליזציה של חבורת גלואה האבסולוטית ${\displaystyle Gal(K^{s}/K)}$.

במונחים הללו, משפט קרונקר-ובר, שהוא אחד המשפטים הראשונים בתורת שדות המחלקה, הוא הטענה ש-${\displaystyle \mathbb {Q} ^{ab}/\mathbb {Q} }$ היא ההרחבה הנוצרת על ידי כל שורשי היחידה. כמסקנה, מקבלים איזומורפיזם

${\displaystyle Gal(\mathbb {Q} ^{ab}/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}^{\times }}$,

כאשר המכפלה היא על כל המספרים הראשוניים ו-${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ הוא חבורת ההפיכים בחוג השלמים הp-אדים.

תורת שדות המחלקה המקומית מתארת את ההרחבות האבליות של שדות מקומיים. מכיוון שלשדה ${\displaystyle \mathbb {C} }$ אין הרחבות אלגבריות לא טריביאליות ולשדה ${\displaystyle \mathbb {R} }$ יש רק הרחבה אלגברית לא טריביאלית אחת, המיון של הרחבות אבליות לשדות הארכימדים ברור.

יהא ${\displaystyle K}$ שדה מקומי לא ארכימדי עם חוג הערכה ${\displaystyle O_{K}}$. המשפט המרכזי של תורת שדות המחלקה המקומית הוא שהחבורה ${\displaystyle Gal(K^{ab}/K)}$ היא ההשלמה הפרו-סופית של החבורה הכפלית ${\displaystyle K^{\times }}$. ליתר דיוק, יש הומומורפיזם ${\displaystyle \theta _{K}:K^{\times }\rightarrow Gal(K^{ab}/K)}$, שהוא השיכון של ${\displaystyle K^{\times }}$ בהשלמה הפרו-סופית שלו. מכיוון ש-${\displaystyle K^{\times }\cong O_{K}^{\times }\times \mathbb {Z} }$, נובע ש-${\displaystyle Gal(K^{ab}/K)\cong O_{K}^{\times }\times {\widehat {\mathbb {Z} }}}$, כאשר ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ היא ההשלמה הפרו-סופית של השלמים.

ההעתקה ${\displaystyle \theta _{K}}$ נקראת העתקת ארטין המקומית.

תורת שדות המחלקה הגלובלית מתארת את ההרחבות האבליות של שדות גלובלים. התיאור במקרה זה פחות מפורש מהמקרה המקומי ונעשה דרך חוג האדלים של השדה.

אם ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$ מסמן את חוג האדלים של ${\displaystyle K}$, יש שיכון ${\displaystyle K^{\times }\rightarrow \mathbf {A} _{K}^{\times }}$ בין חבורות ההפיכים של ${\displaystyle K}$ ושל ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$. התמונה של ${\displaystyle K^{\times }}$ היא דיסקרטית והמנה ${\displaystyle K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{K}^{\times }}$ נקראת חבורת מחלקות האידלים.

המשפט המרכזי של תורת שדות המחלקה הגלובלית הוא שהחבורה ${\displaystyle Gal(K^{ab}/K)}$ איזומורפית להשלמה הפרו-סופית של החבורה ${\displaystyle K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{K}^{\times }}$. ליתר דיוק, קיים הומומורפיזם ${\displaystyle \theta _{K}:K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{K}^{\times }\rightarrow Gal(K^{ab}/K)}$ שהוא ההומומורפיזם של ההשלמה הפרו-סופית. ההומומורפיזם ${\displaystyle \theta _{K}}$ נקרא העתקת ארטין הגלובלית.

במקרה שהמציין של ${\displaystyle K}$ הוא אפס, רכיב הקשירות של 0 בחוג ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$ הוא מהצורה ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{1}}\times \mathbb {C} ^{d_{2}}}$ ורכיב הקשירות של 1 בחבורה ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}^{\times }}$ הוא מהצורה ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d_{1}}\times (\mathbb {C} ^{\times })^{d_{2}}}$. לכן רכיב הקשירות של 1 בחבורת מחלקות האידלים גם הוא ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d_{1}}\times (\mathbb {C} ^{\times })^{d_{2}}}$. רכיב הקשירות הזה שווה לגרעין של העתקת ארטין הגלובלית. במקרה שהמציין של ${\displaystyle K}$ חיובי, העתקת ארטין הגלובלית חד חד ערכית.

עבור שדה גלובלי ${\displaystyle K}$, העתקת ארטין הגלובלית ${\displaystyle \theta _{K}}$ והעתקות ארטין המקומיות ${\displaystyle \theta _{K_{v}}}$ קשורות על ידי הנוסחה

${\displaystyle \theta _{K}((a_{v})_{v\in V})=\prod _{v\in V}\theta _{K_{v}}(a_{v})}$

שבה ${\displaystyle V}$ הוא אוסף ההערכות של ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle (a_{v})_{v\in V}}$ הוא איבר של ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}^{\times }}$, האיברים ${\displaystyle \theta _{K_{v}}(a_{v})\in Gal(K_{v}^{ab}/K_{v})}$ מזוהים עם איברים בחבורה ${\displaystyle Gal(K^{ab}/K)}$ על ידי העתקת הצמצום ${\displaystyle Gal(K_{v}^{ab}/K_{v})\rightarrow Gal(K^{ab}/K)}$, והמכפלה מוגדרת היטב מכיוון שלכמעט כל הערכה ${\displaystyle v}$, מתקיים ${\displaystyle \theta _{K_{v}}(a_{v})=1}$.