באלגברה ליניארית, שחלוף (לפעמים גם חילוף; אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i, j) שלה נמצא האיבר ה-(j, i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

תהא ${\displaystyle \!\,A}$ מטריצה מסדר ${\displaystyle n\times m}$. המטריצה המשוחלפת שלה, ${\displaystyle A^{\top }}$ (מקובלים גם הסימונים ${\displaystyle \ A^{T},A^{t},{}^{t}A,A^{tr},A'}$) היא מטריצה מסדר ${\displaystyle \!\,m\times n}$ שמוגדרת כך: ${\displaystyle \!\,(A^{\top })_{ij}=(A)_{ji}}$, עבור כל ${\displaystyle \!\,1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$.

דוגמאות:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\top }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\qquad }$

${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\top }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}$

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

• ${\displaystyle \!\,(A+B)^{\top }=A^{\top }+B^{\top }}$.
• ${\displaystyle \!\,(\lambda A)^{t}=\lambda (A^{\top })}$.
• ${\displaystyle \!\,(AB)^{\top }=B^{\top }A^{\top }}$
• ${\displaystyle \!\,(A^{\top })^{\top }=A}$

מן התכונות האלה נובע גם שאם ${\displaystyle \!\,A}$ הפיכה אז גם ${\displaystyle \ A^{\top }}$ הפיכה ו-${\displaystyle \!\,(A^{\top })^{-1}=(A^{-1})^{\top }}$.

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של ${\displaystyle \ A^{t}}$ שווה לזה של ${\displaystyle \ A}$, ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצה ריבועית ${\displaystyle \ A}$ נקראת סימטרית אם ${\displaystyle A^{\top }=A}$, כלומר ${\displaystyle \ A}$ שווה למטריצה המשוחלפת שלה. ${\displaystyle \ A}$ נקראת אנטי-סימטרית אם ${\displaystyle A^{\top }=-A}$.

אם ${\displaystyle \ A}$ היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים ${\displaystyle \ A^{-1}=A^{\top }}$, אז ${\displaystyle \ A}$ נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית ${\displaystyle \ A}$ היא אורתוגונלית אם ורק אם ${\displaystyle \ AA^{\top }=A^{\top }A=I}$, כאשר ${\displaystyle \ I}$ היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה ${\displaystyle \ A}$ מסומן ${\displaystyle \ A^{*}}$ וכאמור מוגדר לפי ${\displaystyle \ (A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}}$. אם ${\displaystyle \ A}$ מקיימת ${\displaystyle \ A^{*}=A}$, היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה ליניארית

אם ${\displaystyle \ V}$ ו-${\displaystyle \ W}$ הם מרחבים וקטוריים מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ו-${\displaystyle T:V\to W}$ היא העתקה ליניארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה ${\displaystyle T^{\top }:W^{*}\to V^{*}}$ בין המרחבים הדואליים של ${\displaystyle \ W}$ ו-${\displaystyle \ V}$ המוגדרת באופן הבא:

זוהי העתקה ליניארית ודרגתה שווה לדרגת ${\displaystyle \ T}$. הפונקציונל ${\displaystyle \ T^{\top }g}$ מכונה לעיתים המשיכה לאחור של ${\displaystyle \ g}$ במקביל ל-${\displaystyle \ T}$.

אם ${\displaystyle \ V}$ ו-${\displaystyle \ W}$ הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ הוא בסיס סדור ל-${\displaystyle \ V}$ עם בסיס דואלי ${\displaystyle {\mathfrak {B}}^{*}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ הוא בסיס סדור ל-${\displaystyle \ W}$ עם בסיס דואלי ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'^{*}}$ ו-${\displaystyle \ A}$ היא המטריצה המייצגת של ${\displaystyle \ T}$ ביחס לבסיסים ${\displaystyle {\mathfrak {B}},{\mathfrak {B}}'}$, אז המטריצה המייצגת של ${\displaystyle \ T^{\top }}$ ביחס לבסיסים ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'^{*},{\mathfrak {B}}^{*}}$ היא בדיוק ${\displaystyle \ A^{\top }}$.

• שחלוף, באתר MathWorld (באנגלית)