פונקציית אוילר (על שם המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר) היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית.

מקובל לסמנה באות היוונית ${\displaystyle \phi }$ (פי), והיא מוגדרת באופן הבא: ${\displaystyle \phi (n)}$ שווה למספר המספרים הטבעיים הקטנים מ-${\displaystyle n}$ וזרים לו.
למשל, ${\displaystyle \phi (5)=|\{1,2,3,4\}|=4,\phi (6)=|\{1,5\}|=2}$, ואילו ${\displaystyle \phi (1)=|\{1\}|=1}$ (1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו). כלומר, זהו גודלה של חבורת אוילר ${\displaystyle U_{n}}$ המתאימה ל-${\displaystyle n}$.

הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מסדר ${\displaystyle n}$ מחלק את ${\displaystyle \phi (n)}$.

אם ${\displaystyle p}$ מספר ראשוני, אזי כל המספרים הקטנים מ-${\displaystyle p}$ זרים לו, ולכן ${\displaystyle \phi (p)=p-1}$. באופן כללי יותר, המספרים שאינם זרים ל-${\displaystyle p^{s}}$ הם כל אלה המתחלקים ב-${\displaystyle p}$, שמספרם ${\displaystyle p^{s-1}}$, ולכן ${\displaystyle \phi (p^{s})=p^{s}-p^{s-1}=p^{s-1}(p-1)=p^{s}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$. ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר כפלית, כלומר ${\displaystyle \phi (n_{1}n_{2})=\phi (n_{1})\phi (n_{2})}$ עבור ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ זרים. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה

${\displaystyle \phi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}}}\right)}$

כאשר ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ הם הגורמים הראשוניים השונים של ${\displaystyle n}$. לדוגמה ${\displaystyle \phi (45)=45\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{5}}\right)=24}$. נראה זאת. נכתוב ${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}$ ונקבל ממה שאנו כבר יודעים עבור חישוב פונקציית אוילר לחזקה של ראשוני כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (n)&=\phi (p_{1}^{k_{1}})\cdots \phi (p_{r}^{k_{r}})\\&=p_{1}^{k_{1}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\end{aligned}}}$

• פונקציית אוילר מקיימת את הזהות ${\displaystyle \sum _{d|n}\phi (d)=n}$, אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.
• נוכל להסתכל על הזהות הזו כקונבולוציה ${\displaystyle \varphi *1={\text{id}}}$ כאשר ${\displaystyle {\text{id}}}$ פונקציית הזהות. לכן, מנוסחת ההיפוך של מביוס נובע כי

${\displaystyle \varphi (n)=(\mu *{\text{id}})(n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}=n\sum _{d|n}{\frac {\mu (d)}{d}}}$

כאשר ${\displaystyle \mu }$ פונקציית מביוס.

נוכל לתת הוכחה נוספת, המבוססת על הנוסחה ${\displaystyle \phi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$ לחישוב הפונקציה שהראינו. הרי אם ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{r}}$ הגורמים הראשוניים השונים המחלקים את ${\displaystyle n}$, נוכל להבחין כי

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)&=\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=\sum _{k\,=\,0}^{r}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq r}{\frac {(-1)^{k}}{p_{i_{1}}\cdots p_{i_{k}}}}\\&=\sum _{k\,=\,0}^{r}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq r}{\frac {\mu (p_{i_{1}}\cdots p_{i_{k}})}{p_{i_{1}}\cdots p_{i_{k}}}}\\&=\sum _{d|n}{\frac {\mu (d)}{d}}\end{aligned}}}$

שהרי לכל מחלק ${\displaystyle d>1,d|n}$, אם הוא לא מכפלת ראשוניים שונים אז ${\displaystyle \mu (d)=0}$ מהגדרת פונקציית מביוס.

• לכל ${\displaystyle n>2}$, ${\displaystyle \phi (n)}$ מספר זוגי. ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות. אם ${\displaystyle n=2^{k}}$ בעבור ${\displaystyle k>1}$, אז ${\displaystyle \phi (n)=2^{k}(1-0.5)=2^{k-1}}$. אחרת ל-${\displaystyle n}$ יש מחלק ${\displaystyle p}$ ראשוני אי-זוגי, כלומר הוא מהצורה ${\displaystyle n=p^{k}m}$, ולכן: ${\displaystyle \phi (n)=\phi (p^{k})\phi (m)=p^{k-1}(p-1)\phi (m)}$, ו-${\displaystyle p-1}$ זוגי.
• הערך הממוצע של הפונקציה הוא^[1] ${\displaystyle {\frac {\phi (1)+\cdots +\phi (n)}{n}}\sim {\frac {3}{\pi ^{2}}}n}$. הגבול התחתון של היחס ${\displaystyle {\frac {\phi (n)}{n/\ln(\ln(n))}}}$ הוא ${\displaystyle e^{-\gamma }}$, כאשר ${\displaystyle \gamma }$ הוא קבוע אוילר-מסקרוני.
• ניתן לכתוב את טור דיריכלה של פונקציית אוילר באופן הבא:

${\displaystyle F_{\phi }(s)=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {\phi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$

כאשר ${\displaystyle \zeta }$ פונקציית זטא של רימן.

• ${\displaystyle \sum _{d|n}{\frac {\mu (d)^{2}}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\phi (n)}}}$
• בתורת גלואה, פונקציית אוילר מופיעה כממד של ההרחבה הציקלוטומית ${\displaystyle \mathbb {Q} [\rho _{n}]/\mathbb {Q} }$ של שדה המספרים הרציונליים על ידי שורש היחידה מסדר ${\displaystyle n}$ (הסיבה לכך היא שהפולינום הציקלוטומי הוא אי פריק).

• Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, פרק 18.

מדיה וקבצים בנושא פונקציית אוילר בוויקישיתוף

• פונקציית אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת מספרי פונקציית אוילר באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים