באז'וב נולד במשפחתו של פועל מפעל בעיירה סיסרט (Сысерть) שליד יקטרינבורג. בוגר לימודים תיכוניים ומכללה דתית בעיר פרם. עבד כמורה ביקטרינבורג וקמישלוב. התחתן עם תלמידתו, אב ל-4 ילדים. במלחמת האזרחים של 1918 התגייס לצבא האדום. לאחר מכן עבד כעיתונאי ועורך. כתב כמה עבודות על התרבות העממית וההיסטוריה של אורל. ספר ראשון של מאמריו "מעשיות אורל" (Уральские были) יצא בשנת 1924.
ב־1936 פרסם בכתב-עת את ה"סקאז" הראשון שלו - "הילדה אזובקה" (Девка Азовка). בשם "סקאז" (сказ) באז'וב כינה את המעשיות של אזור אורל - להבדיל מהמילה הרוסית הרגילה ל"אגדה" - "סקאזקה" (сказка). ב־1939 הוציא את קובץ הסקאזים "תיבת המלכיט" (Малахитовая шкатулка). הסקאזים עסקו בחייהם של פשוטי העם, ובפרט במחפשי האבנים היקרות בהרי אורל. הספר נערך ויצא מחדש מספר פעמים בחיי הסופר ונוספו אליו עוד ועוד סקאזים. בשנת 1943 באז'וב קיבל עליו את פרס סטלין מדרגה שנייה.
משנת 1999, לרגל 120 שנה להולדת הסופר, ברוסיה הונהג פרס על־שם באז'וב, אשר מוענק מדי שנה ביום הולדתו לסופרים ואנשי תרבות על תרומה משמעותית לתרבות של אורל.
