נקודת קיצון

נקודות קיצון מקומיות וגלובליות עבור הפונקציה cos(3πx)/x, 0.1≤x≤1.1

במתמטיקה, נקודת קיצון (נקודת אקסטרמום) של פונקציה סקלרית היא נקודה שבה ערכה הוא גבוה ביותר או נמוך ביותר. יש להבדיל בין נקודות קיצון מקומיות ובין נקודות קיצון מוחלטות (גלובליות). נקודת קיצון גלובלית היא כזו שהערך בה הוא הגדול ביותר (או הנמוך ביותר) בכל תחום ההגדרה של הפונקציה. לעומת זאת, נקודת קיצון מקומית היא כזו שקיימת סביבה של הפונקציה שבה ערכה של הפונקציה באותה נקודה הוא הגבוה או הנמוך ביותר.

הדרך היעילה ביותר למציאת נקודות קיצון של פונקציה היא באמצעות שימוש בנגזרת.

הגדרה פורמלית

תהא פונקציה.

  • נאמר שהנקודה היא מקסימום גלובלי של הפונקציה אם לכל נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים .
  • נאמר שהנקודה היא מינימום גלובלי של הפונקציה אם לכל נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים .
  • נאמר שהנקודה היא מקסימום מקומי של הפונקציה אם קיימת סביבה של כך שלכל נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים .
  • נאמר שהנקודה היא מינימום מקומי של הפונקציה אם קיימת סביבה של כך שלכל נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים .

בשם נקודת קיצון של נקרא לכל נקודת מינימום או מקסימום, מקומית או גלובלית, של הפונקציה.

נשים לב כי הגדרה זו מתבססת על כך שהפונקציה היא סקלרית, כלומר תמונתה היא מספר ממשי. אם הפונקציה הייתה מחזירה וקטור, למשל, היה טבעי פחות לדבר על נקודות קיצון שכן אין לווקטורים יחס סדר כמו זה של המספרים הממשיים.

משפט פרמה קובע כי אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ובאותה הנקודה יש לה נקודת קיצון (מקסימום מקומי או מינימום מקומי), הנגזרת שווה לאפס באותה נקודה. כלומר שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא אפס. ההפך לא תמיד נכון - נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת.

נשים לב כי יכולה להיות נקודת קיצון גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת, כלומר בנקודה בה שיפוע המשיק, אם קיים, אינו מוגדר. לדוגמה, הפונקציה: שנגזרתה: . ניתן לראות כי הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל , אך אינה גזירה בנקודה שהיא למעשה נקודת קיצון (מינימום מקומי וגלובלי) של הפונקציה. כלומר לא מוגדר שיפוע למשיק בנקודה זו. היות שהגבול החד צדדי של הנגזרת כאשר שואף לאפס מימין ומשמאל הוא אינסופי, קיים בנקודה זו משיק אנכי לפונקציה.

סיווג נקודות קיצון

ניתן לקבוע את סוג נקודת הקיצון (מינימום או מקסימום) על ידי אחת מהדרכים הבאות:

הצבה בשני צדי נקודת הקיצון

ניתן לקבוע את סוג נקודת הקיצון על ידי הצבת ערכים בנגזרת משני צידי הפונקציה וכך לקבוע האם הנגזרת היא חיובית או שלילית, כלומר האם הפונקציה המקורית היא עולה או יורדת. נקודת מינימום היא נקודה בה הפונקציה יורדת לפניה ועולה אחריה, ונקודת מקסימום, להפך. בדרך דומה ניתן להציב לפחות שני ערכים בפונקציה המקורית ולבדוק בצורה זו האם הפונקציה עולה או יורדת באזור מסוים.

הצבה בנגזרת השנייה

דרך נוספת לקביעת סוג נקודת הקיצון היא להציב את ערך נקודת הקיצון בנגזרת השנייה. כך שאם הנגזרת השנייה חיובית, אזי הפונקציה קמורה כך שנקודת הקיצון היא נקודת מינימום. ואם הנגזרת השנייה שלילית אזי הפונקציה קעורה, כך שנקודת הקיצון היא נקודת מקסימום.

ראו גם

קישורים חיצוניים


Read other articles:

Arena Aqua Wing長野運動公園総合運動場総合市民プールアクアウィングAqua WingArena Aqua Wing pada April 2019Nama lamaArena Aqua WingLokasiNagano, JepangKoordinat36°39′38″N 138°13′59″E / 36.66056°N 138.23306°E / 36.66056; 138.23306 (Aqua Wing)Kapasitas6,000 untuk hoki es, 2,000 untuk renangLuas5.2haKonstruksiMulai pembangunan12 Oktober 1995; 28 tahun lalu (1995-10-12)DibukaSeptember 1997; 26 tahun lalu (1997-09)Biaya9....

 

 

U.S. National Monument in New Mexico Capulin Volcano National MonumentLast erupted between 55,000 to 62,000 years ago[1]Show map of New MexicoShow map of the United StatesLocationRaton-Clayton Volcanic Field, Union County, New Mexico, New Mexico, United StatesCoordinates36°46′56″N 103°58′12″W / 36.78222°N 103.97000°W / 36.78222; -103.97000Area793 acres (321 ha)[2]Elevation2,494 m (8,182 ft)Max. elevation8,182AuthorizedAugust 9...

 

 

DirektflygBerkas:Direktflyg.gif IATA ICAO Kode panggil HS HSV HIGHSWEDE[1] Didirikan2000(Sundsvall Aero didirikan tahun 1984)PenghubungBandar Udara DalaArmada7Tujuan13Perusahaan indukSkyways ExpressKantor pusatBorlänge, SwediaTokoh utamaTezz Tordsdotter OhlssonSitus webdirektflyg.com Direktflyg, resminya Svenska Direktflyg AB adalah maskapai penerbangan regional yang berbasis di Borlänge, Sweden. Maskapai penerbangan ini mengoperasikan penerbangan ke tiga belas tujuan di Swedia dan ...

1936 State Line earthquakeMilton-FreewaterUTC time1936-07-16 07:08ISC event903747USGS-ANSSComCatLocal dateJuly 15, 1936 (1936-07-15)Local time23:08 [1]Duration15 seconds [2]MagnitudeML 5.8 [3]Depth5 km [3]Epicenter45°59′31″N 118°29′46″W / 45.992°N 118.496°W / 45.992; -118.496Areas affectedPacific NorthwestTotal damage$100,000 (1936) [4] $1.78 million (2018) [5]Max. inte...

 

 

Governing body of association football in the Basque Country Basque Football FederationFederación Vasca de Fútbol-Euskadiko futbol FederakundeaShort nameEFF-FVFFounded1988HeadquartersBilbao, SpainMembershipRoyal Spanish Football Federation (RFEF)PresidentJavier LandetaGeneral SecretaryKepa AllicaWebsiteeuskadifutbol.eus The Basque Football Federation (Basque: Euskadiko Futbol Federakundea, EFF; Spanish: Federación Vasca de Fútbol, FVF) is the body responsible for managing association foot...

 

 

Mister Supranational 2019Katowice Int. Conference Centre, tempat penyelenggaraan Mister Supranational 2019Tanggal7 Desember 2019TempatKatowice International Conference Centre, Katowice, Silesia, PolandiaPembawa acaraSandra KubickaDavina ReevesIvan PodrezPengisi acaraJanja LesarTomasz BarańskiPenyiaraniplaPolsatYouTubePeserta40Finalis/Semifinalis20DebutAfrika SelatanAljazairEkuadorKenyaLaosMoldovaMontenegroVietnamTidak tampilArgentinaChinaCuracaoHawaiiIrlandiaMyanmarNorwegiaPan...

Episode 60 der Reihe Ein starkes Team Titel Tödliche Verführung Produktionsland Deutschland Originalsprache Deutsch Länge 88 Minuten Altersfreigabe FSK 12 Produktions­unternehmen UFA Regie Daniel Helfer Drehbuch Leo P. Ard Produktion Michaela Nix Musik Nikolaus Glowna Ludwig Eckmann Wolfram de Marco Kamera Stefan Ditner Schnitt Anton Korndörfer Premiere 17. Jan. 2015 auf ZDF Besetzung Maja Maranow: Verena Berthold Florian Martens: Otto Garber Arnfried Lerche: Lothar Reddem...

 

 

American football player (1924–2005) American football player Glenn DavisDavis on the 1947 West Point yearbookNo. 41Position:HalfbackPersonal informationBorn:(1924-12-26)December 26, 1924Claremont, California, U.S.Died:March 9, 2005(2005-03-09) (aged 80)La Quinta, California, U.S.Height:5 ft 9 in (1.75 m)Weight:175 lb (79 kg)Career informationHigh school:Bonita (La Verne, California)College:Army (1943–1946)[a]NFL draft:1947 / Round: 1 /...

 

 

Ernie KovacsKovacs pada set acara televisinya, 1956Nama lahirErnest Edward KovacsLahir(1919-01-23)23 Januari 1919Trenton, New Jersey, Amerika SerikatMeninggal13 Januari 1962(1962-01-13) (umur 42)Los Angeles, California, Amerika SerikatDimakamkanForest Lawn Memorial Park (Hollywood Hills)MediaSurat kabar, radio, televisi, majalah, sinemaTahun aktif1941–1962Suami/istriBette Lee Wilcox ​ ​(m. 1945; bercerai 1952)​ Edie Adams ​ R...

Highway in Kansas Kansas TurnpikeKansas Turnpike highlighted in redRoute informationMaintained by Kansas Turnpike AuthorityLength236 mi[1] (380 km)ExistedOctober 1956–presentComponenthighways I-35 from the Oklahoma state line to Emporia I-335 from Emporia to Topeka I-470 in southeastern Topeka I-70 from Topeka to Kansas City Major junctionsSouth end I-35 at the Oklahoma state lineMajor intersections I-135 / I-235 / US-81 in Wichita I-35 / I-335...

 

 

  关于与「關山鎮」標題相近或相同的条目页,請見「關山鎮 (消歧義)」。 關山鎮Guanshan Township舊稱:里壟鎮從上至下、由左至右:關山親水公園、關山舊火車站、關山天后宮 關山鎮位置圖 坐标:23°01′05″N 121°11′38″E / 23.0181°N 121.1939°E / 23.0181; 121.1939國家 中華民國省臺灣省上級區劃臺東縣下級區劃7里135鄰政府 • 行政机构關山鎮公所...

 

 

Vous lisez un « bon article » labellisé en 2011.  Il fait partie d'un « bon thème ». La dynastie Song (chinois : 宋朝 ; pinyin : Sòng cháo ; 960–1279) de Chine est une dynastie régnante qui contrôle la Chine historique et le Sud de la Chine du milieu du Xe siècle jusqu’au dernier quart du XIIIe siècle. Cette dynastie marque un tournant important dans le domaine des innovations en science et technologie de la Chine a...

Luigi GanelliNazionalità Italia Calcio RuoloAllenatore (ex centrocampista) Termine carriera1955 - giocatore CarrieraGiovanili 1934-1935 Codogno Squadre di club1 1935-1937 Codogno? (?)1937-1939 Piacenza43 (16)1939-1941 Torino14 (4)1941-1942 Brescia25 (11)1942-1943 Napoli7 (1)1943-1944→  Cremonese11 (2)1944-1945→  Milano15 (1)1945-1946→  Piacenza20 (7)1946-1948 Napoli41 (1)1951-1952 Pavia28 (8)1952-1953 Stabia18 (4)1953-195...

 

 

カイル・ストワーズKyle Stowersマイアミ・マーリンズ #28 2018年5月20日基本情報国籍 アメリカ合衆国出身地 カリフォルニア州サンディエゴ郡エルカホン生年月日 (1998-01-02) 1998年1月2日(26歳)身長体重 6' 3 =約190.5 cm215 lb =約97.5 kg選手情報投球・打席 左投左打ポジション 外野手プロ入り 2019年 MLBドラフト2巡目戦力均衡ラウンドB初出場 2022年6月13日経歴(括弧内はプロ�...

 

 

Questa voce sull'argomento aeroporti della Russia è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Aeroporto di Pečoraaeroporto Codice IATAPEX-ПЧР Codice ICAOUUYP-УУЫП DescrizioneTipocivile GestoreAeroport PečoraАэропорт Печора Stato Russia Circondario federale Komi Posizionea 5 km a sud-ovest di Pečora Altitudine60 m s.l.m. Coordinate65°07′18″N 57°07′48″E65°07′18″N, 57°07′48″E Mappa di lo...

18th-century French philosopher The ReverendÉtienne Bonnot de CondillacEtienne Bonnot de CondillacBorn(1714-09-30)30 September 1714Grenoble, Kingdom of FranceDied2 August 1780(1780-08-02) (aged 65)Lailly-en-Val, Kingdom of FranceEraModern philosophy Age of Enlightenment RegionWestern philosophy French philosophy SchoolEmpiricismMain interestsPsychology, philosophy of mind, epistemology Étienne Bonnot de Condillac (UK: /ˈkɒndiæk/ KON-dee-ak;[citation needed] French: [etj�...

 

 

Ethnic group native to Sweden This article is about the ethnic group native to Sweden. For other uses, see Swede. For a specific analysis of the population of Sweden, see Demographics of Sweden. Ethnic group SwedessvenskarTotal populationc. 13 million[a]Regions with significant populations Sweden       c. 8 million[b][1] Other significant population centers:Swedish citizens abroadc. 546,000[c][2]Swedish diasporac. 4.5–5 million United ...

 

 

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018) هور ابن نجمهور ابن نجمالموقع الجغرافي / الإداريالقارة أسياالمنطقة العراقالتقسيم الإداري النجف، الديوان...

この項目では、滋賀県立東大津高等学校について説明しています。 かつて滋賀県立大津東高等学校と称していた高校については「滋賀県立膳所高等学校」をご覧ください。 滋賀県立東大津高等学校 北緯34度58分17.7秒 東経135度56分43.0秒 / 北緯34.971583度 東経135.945278度 / 34.971583; 135.945278座標: 北緯34度58分17.7秒 東経135度56分43.0秒 / 北緯34.971583�...

 

 

Medieval southern European Christian dualist movement Cathar redirects here. For the Star Wars race, see Cathar (race). Not to be confused with Cathare or Kathar. The Albigenses redirects here. For the novel by Charles Maturin, see The Albigenses (novel).   Part of a series onGnosticism Gnostic concepts Adam kasia Adam pagria Aeon Anima mundi Archon Barbelo Demiurge Five Seals Gnosis Kenoma Luminary Manda Monad Ogdoad Pleroma Sophia Uthra World of Light World of Darkness Yaldabaoth Gnost...