נקודת פיתול

במתמטיקה ובעיקר באנליזה מתמטית, נקודת פיתול של פונקציה היא נקודה שבה הפונקציה הופכת מקמורה לקעורה, או להפך.

משפט: אם הפונקציה גזירה פעמיים בנקודת פיתול , אז .

מכאן שהנקודות ה"חשודות" כנקודות פיתול הן אלו שבהן הנגזרת השנייה אינה מוגדרת, או שהיא מתאפסת. ניתן לבדוק האם הפונקציה עוברת מקמירות לקעירות בצורה ישירה על ידי בדיקת הסימן של הנגזרת השנייה משני צידי הנקודה, (החלפת הסימן גוררת שזוהי נקודת פיתול) או להמשיך לגזור את הפונקציה עד שמגיעים לנגזרת הראשונה שערכה בנקודה אינו אפס. אם זוהי נגזרת מסדר לא זוגי, הרי שהנקודה היא נקודת פיתול, ואם היא מסדר זוגי, הנקודה אינה נקודת פיתול.

דוגמאות

גרף הפונקציה עם נקודת פיתול ב-

נביט בפונקציה . נגזרותיה הן:

.

מתקיים , ומאחר שהפונקציה גזירה פעמיים בישר הממשי כולו, נקודת הקיצון האפשרית היחידה של הפונקציה היא בנקודה זו. כמו כן מתקיים , והנגזרת השלישית היא הנגזרת הראשונה שערכה בנקודה שונה מאפס. כיוון שהנגזרת מסדר אי זוגי, הנקודה היא אכן נקודת פיתול.

לעומת זאת, נביט כעת בפונקציה שנגזרותיה הן:

.

במקרה זה, הנגזרת הראשונה שערכה בנקודה שונה מאפס היא הרביעית, ולכן, הנקודה 0 אינה נקודת פיתול.

הערה: ייתכן שהנגזרת הראשונה של פונקציה תהיה 0, אך הנקודה לא תהיה נקודת קיצון, ואף לא נקודת פיתול. לדוגמה, הפונקציה

רציפה וגזירה באפס, ונגזרתה שם היא אפס, אולם אפס אינה נקודת קיצון, ולא נקודת פיתול (הסבר מפורט מופיע בערך נגזרת).

קישורים חיצוניים

Read other articles:

13 Reasons WhyGenre Drama remaja Fiksi misteri Thriller BerdasarkanThirteen Reasons Whyoleh Jay AsherPengembangBrian YorkeyPemeran Dylan Minnette Katherine Langford Christian Navarro Alisha Boe Brandon Flynn Justin Prentice Miles Heizer Ross Butler Devin Druid Amy Hargreaves Derek Luke Kate Walsh Brian d'Arcy James Grace Saif Brenda Strong Timothy Granaderos Mark Pellegrino Tyler Barnhardt Deaken Bluman Jan Luis Castellanos Gary Sinise Narator Katherine Langford (musim 1) Bermacam (musim 2) ...

 

CilincingKecamatanPeta lokasi Kecamatan CilincingCilincingPeta lokasi Kecamatan CilincingTampilkan peta IndonesiaCilincingCilincing (Indonesia)Tampilkan peta IndonesiaKoordinat: 6°07′41″S 106°56′36″E / 6.128068°S 106.943459°E / -6.128068; 106.943459Negara IndonesiaProvinsiDKI JakartaKota AdministrasiJakarta UtaraPemerintahan • CamatMuhammad Andri[1]Populasi (2021) • Total430.102 jiwa • Kepadatan11.409/km...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Januari 2023. Ischasia rufina Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Arthropoda Kelas: Insecta Ordo: Coleoptera Famili: Cerambycidae Genus: Ischasia Spesies: Ischasia rufina Ischasia rufina adalah spesies kumbang tanduk panjang yang berasal dari famili Ceramby...

Mojokerto beralih ke halaman ini. Untuk kabupaten bernama sama, lihat Kabupaten Mojokerto. Untuk kegunaan lain, lihat Mojokerto (disambiguasi). Kota MojokertoKotaTranskripsi bahasa daerah • Hanacarakaꦩꦙꦏꦽꦠ • Abjad Pegonماجاكٓرتا • Alfabet JawaMåjåkěrtåSunrise MallTransmart Mojokerto LambangJulukan: Kota Onde-ondeMotto: Spirit Of Majapahit [1]PetaKota MojokertoPetaTampilkan peta JawaKota MojokertoKota M...

 

Bupati BarruPetahanaSuardi Salehsejak 26 Februari 2021KediamanRumah Jabatan BupatiMasa jabatan5 tahunDibentuk1960Pejabat pertamaLa Nakka Berikut ini adalah daftar bupati Barru yang menjabat sejak pembentukannya pada tahun 1960. No Potret Bupati Mulai menjabat Akhir menjabat Partai Wakil Bupati Periode Ref. 1 La Nakka 1960 1965 Militer   N/A 1 2 Muhammad Sewang 1965 1970   N/A 2 3 Andi Sukur 1970 1975   N/A 3 1975 1980   N/A 4 4 Andi Pamadengrukka Mappayompa 1980 1985 ...

 

Samudera Indonesia beralih ke halaman ini. Untuk samudra bernama sama, lihat Samudra Hindia.PT Samudera Indonesia TbkJenisPerseroan terbatasKode emitenIDX: SMDRIndustriLogistik dan pengapalanDidirikan13 November 1964; 59 tahun lalu (1964-11-13)PendiriSoedarpo SastrosatomoKantorpusatJakarta, IndonesiaWilayah operasiIndonesia dan MalaysiaTokohkunciBani Maulana Mulia[1](Direktur Utama)Shanti L. Poesposoetjipto[1](Komisaris Utama)JasaPengapalan peti kemas dan barang curahPeng...

Air warfare branch of Malta's military Armed Forces of Malta Air WingL-Iskwadra tal-Ajru tal-FAMMalta Air Wing emblemActive1973–presentCountry MaltaTypeAir forceRoleAerial warfareSize15 aircraftPart ofArmed Forces of MaltaDecorationsCommandersCommanding OfficerLt Col Nicholas Grech AFMInsigniaRoundelFin flashAircraft flownPatrolBeechcraft Super King Air, AgustaWestland AW139, Agusta-Bell AB 212ReconnaissanceAérospatiale Alouette III, Agusta-Bell AB 212TrainerScottish Aviation Bul...

 

PordenoneNama lengkapPordenone Calcio Società Sportiva DilettantisticaBerdiri1920StadionStadio Ottavio Bottecchia,Pordenone, Italy(Kapasitas: 3,000)KetuaMauro LovisaLigaSerie B Kostum kandang Kostum tandang Pordenone Calcio Società Sportiva Dilettantistica adalah sebuah klub sepak bola Italia yang berada di Pordenone, Friuli-Venezia Giulia. Saat ini mereka bermain di Seri B. lbsSerie BKlub 2021–2022 Alessandria Ascoli Benevento Brescia Cittadella Como Cosenza Cremonese Crotone Frosinone L...

 

Matheus Bianqui Nazionalità  Brasile Altezza 187 cm Peso 79 kg Calcio Ruolo Centrocampista Squadra  Coritiba Carriera Giovanili 2015-2017Grêmio Ourinhos2017-2018 Londrina Squadre di club1 2019-2021 Londrina58 (5)[1]2022 Maringá0 (0)[2]2022→  Chapecoense31 (4)2023 Maringá0 (0)[3]2023-→  Coritiba4 (0) 1 I due numeri indicano le presenze e le reti segnate, per le sole partite di campionato.Il simbolo → indica un trasferim...

Town in Bavaria, GermanyNeumarkt-Sankt Veit TownTown hall Coat of armsLocation of Neumarkt-Sankt Veit within Mühldorf am Inn district Neumarkt-Sankt Veit Show map of GermanyNeumarkt-Sankt Veit Show map of BavariaCoordinates: 48°22′N 12°30′E / 48.367°N 12.500°E / 48.367; 12.500CountryGermanyStateBavariaAdmin. regionOberbayern DistrictMühldorf am Inn Municipal assoc.Neumarkt-Sankt Veit Government • Mayor (2020–26) Erwin Baumgartner[1]A...

 

1919 friendly football match Football matchCopa Roberto CheryEstadio das Laranjeiras, venueEventFriendly match Brazil Argentina 3 3 No winner declared. The trophywas sent to C.A. Peñarol.Date1 July 1919 (1919-07-01)Venuedas Laranjeiras, Rio de JaneiroRefereeAngelo Minoli (Uru)Attendance30,000 The Copa Roberto Chery (English: Roberto Chery Cup) was a one time friendly football match realized between the national teams of Argentina and Brazil, on July 1, 1919.[1] The mat...

 

Rexingencomune Rexingen – Veduta LocalizzazioneStato Francia RegioneGrand Est Dipartimento Basso Reno ArrondissementSaverne CantoneIngwiller TerritorioCoordinate48°54′N 7°11′E / 48.9°N 7.183333°E48.9; 7.183333 (Rexingen)Coordinate: 48°54′N 7°11′E / 48.9°N 7.183333°E48.9; 7.183333 (Rexingen) Superficie2,33 km² Abitanti196[1] (2009) Densità84,12 ab./km² Altre informazioniCod. postale67320 Fuso orarioUTC+1 Codice INS...

  「俄亥俄」重定向至此。关于其他用法,请见「俄亥俄 (消歧义)」。 俄亥俄州 美國联邦州State of Ohio 州旗州徽綽號:七葉果之州地图中高亮部分为俄亥俄州坐标:38°27'N-41°58'N, 80°32'W-84°49'W国家 美國加入聯邦1803年3月1日,在1953年8月7日追溯頒定(第17个加入联邦)首府哥倫布(及最大城市)政府 • 州长(英语:List of Governors of {{{Name}}}]]) •&...

 

مواقع التراث العالمي هي معالم تقوم لجنة التراث العالمي في اليونسكو بترشيحها ليتم إدراجها ضمن برنامج مواقع التراث الإنساني العالمي الذي تديره اليونسكو. هذه القائمة تنقسم إلى «قائمة رئيسية» وقائمة إرشادية مؤقتة،[1] (بالإنجليزية: Tentative List)‏، وهي عملية جرد لخصائص موقع ما ...

 

City in Oregon, United StatesForest GroveCityForest Grove, OregonPacific Avenue in downtown Forest Grove SealMotto(s): A place where families and businesses thrive.Location in OregonForest GroveLocation in the United StatesCoordinates: 45°31′29″N 123°06′44″W / 45.52472°N 123.11222°W / 45.52472; -123.11222CountryUnited StatesStateOregonCountyWashingtonIncorporated1872Government • MayorMalynda Wenzl [1]Area[2] • T...

Protected area Goat Rocks WildernessIUCN category Ib (wilderness area)Show map of Washington (state)Show map of the United StatesLocationLewis / Yakima counties, Washington, USANearest cityYakima, WACoordinates46°30′44″N 121°27′14″W / 46.51222°N 121.45389°W / 46.51222; -121.45389Area108,096 acres (437.45 km2)[1]EstablishedSeptember 3, 1964Governing bodyU.S. Forest ServiceGoat Rocks Wilderness Goat Rocks Wilderness is a U.S. wilderness...

 

Protected wilderness area in California, United States Bucks Lake WildernessIUCN category Ib (wilderness area)Map of the state of CaliforniaShow map of CaliforniaBucks Lake Wilderness (the United States)Show map of the United StatesLocationNortheastern California, Sierra Nevada Mountain Range, Plumas County, California, United StatesNearest cityQuincy, CaliforniaCoordinates39°57′15″N 121°10′34″W / 39.95417°N 121.17611°W / 39.95417; -121.17611Area23,958...

 

  1996 › Президентські вибори в Росії 1991 12 червня 1991 Кандидат Борис Єльцин Рижков Микола Партія Самовисування КПРФ Голосів виборців 40 402 349 13 359 335 Відсоток 57,30% 16,85% Попередній ПрезидентСамовисування Обраний ПрезидентБорис ЄльцинСамовисування Ця стаття потреб�...

The Chaos Chapter: FreezeSampul versi digital dan YouAlbum studio karya TXTDirilis31 Mei 2021 (2021-05-31)Genre K-pop pop rock punk alternative disco Durasi26:08Label Big Hit YG Plus Republic ProduserAlex HopeSlow RabbitAaron HibbelThe SixJacob AttwoollEbenezerMagnusOllipopHueningkaiEl CapitxnJacob MansonKronologi TXT Still Dreaming(2021) The Chaos Chapter: Freeze(2021) Chaotic Wonderland(2021) Singel dalam album The Chaos Chapter: Freeze 0X1=Lovesong (I Know I Love You)Dirilis: 31 M...

 

كأس القارات 1997الحدثكأس القارات 1997 البرازيل أستراليا 6 0 التاريخ21 ديسمبر 1997الملعبملعب الملك فهد الدولي، الرياضالحكم بيروم أون-براسرت (الأتحاد التايلاندي)الحضور65,000 → 1995 1999 ← نهائي بطولة فيفا لكأس القارات 1997 لكرة القدم لتحديد الفائز في بطولة كأس القارات 1997 أقيم في استاد الم...