נקודה (גאומטריה)

סימון של נקודה
סימון נקודות על גרף של מערכת צירים

בגאומטריה, נקודה היא מושג יסודי, המאופיין באמצעות האקסיומות העוסקות בו. בצורה פחות פורמלית, נקודה מציינת מקום מדויק במרחב. לנקודה ממד אפס – היא חסרת אורך, רוחב ועומק, לעומת קו, שהממד שלו הוא 1 (יש לו אורך), צורה דו-ממדית שהממד שלו הוא 2, למשל ריבוע, וצורה תלת-ממדית שהמימד שלו 3, כדוגמת קובייה.

בהקשר כללי יותר במתמטיקה, כל איבר של מרחב טופולוגי נקרא נקודה.

הנקודה בגאומטריה האוקלידית

אקסיומות הגאומטריה האוקלידית העוסקות בנקודה:

  • יש לפחות שתי נקודות שונות זו מזו.
  • לכל שתי נקודות שונות זו מזו יש ישר אחד ויחיד ששתי נקודות אלה נמצאות עליו.
  • כל ישר מכיל לפחות נקודה אחת.
  • מחוץ לכל ישר יש לפחות נקודה אחת.
  • לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד יש מישור אחד ויחיד המכיל אותן.
  • כל מישור מכיל לפחות נקודה אחת.
  • מחוץ לכל מישור יש לפחות נקודה אחת.
  • אם לשני מישורים יש נקודה משותפת, יש להם לפחות עוד נקודה משותפת.
  • אם לישר ולמישור שתי נקודות משותפות שונות זו מזו, הישר נמצא במישור.

הנקודה בפילוסופיה של המתמטיקה

מבחינה פילוסופית, הנקודה הייתה מושא לפולמוס. היוונים הקדומים טענו שקו לא יכול להיות מורכב מנקודות והציגו מגוון רב של פרדוקסים הנובעים מההנחה שזה אכן כך, המפורסמים שבהם הם הפרדוקסים של זנון. לפרדוקסים אלה קשר מהותי לתפיסה האטומיסטית המציעה מושג דומה "אטום" שהגדרתו היא "בלתי ניתן לחלוקה" אך בשונה מהנקודה הגאומטרית יש לו גודל ממשי, וכן מימד. בפרדוקסים אלה נגעו היוונים בסוגיית עצמאות המתמטיקה אל מול תיאור המציאות והמציאות ממש, והציגו גישה מערבת, שאינה מבחינה בין מתמטיקה ובין פיזיקה. להיבטים אלה התייחסו גם אפלטון ואריסטו, אך גם הם באופן מערב.

לעומת זאת, מדעני הרנסאנס והעת החדשה המוקדמת כמו גלילאו גליליי ואייזק ניוטון אימצו את הפרדוקסליות הזאת כתכונה של הטבע וראו בנקודה עצם לגיטימי שקיים בעולם. ניוטון אף פיתח את החשבון אינפיניטסימלי המבוסס כולו על מעין נקודה – האינפיניטסימל. באותן שנים של המהפכה המדעית ניתן גם מיסוד פילוסופי רחב ומעמיק, בין היתר על ידי דקארט ושפינוזה ליחסים שבין המציאות ותיאור המציאות ועל הפער שבין הגאומטריה, הפילוסופיה של הטבע והטבע, ובמונחים עכשוויים המתמטיקה, הפיזיקה והמציאות.

בחשבון אינפיניטסימלי ניסו לעקוף את הבעיה על ידי שימוש בקטעים קטנים כרצוננו במקום נקודה, לחישוב גבולות ואינטגרלים ומאוחר יותר אף פתחו את תורת המידה כדי לטפל בקשיים שנוצרו באנליזה הממשית הבנויה על אינפיניטסימלים וגבולות.

בעקבות הצלחת החשבון האינפיניטסימלי, ניסו המתמטיקאים להעמיד את הגאומטריה על יסוד האנליזה והמספרים הממשיים – שקיומם אז נחשב לוודאי ללא ספק. העמדה זו, שזיהתה את הנקודה עם מספר ממשי או זוג סדור של מספרים ממשיים, תיארה צורות גאומטריות באמצעות משוואות אלגבריות. הניסוח הראשון של גישה זו סופק על ידי רנה דקארט בספרו על גאומטריה אנליטית והצגת מערכת הצירים הקרטזית.

בעקבות מחקריו של גאורג קנטור על תורת הקבוצות, הבינו המתמטיקאים שהמספרים הממשיים אינם כה ודאיים ופשוטים, שכן אפשר לממשם רק באמצעות קבוצות המכילות אינסוף איברים (אינסוף אקטואלי). לכן, ניטשה הגישה שמנסה לבסס את הגאומטריה על האנליזה.[דרוש מקור]

המתמטיקאי דויד הילברט הציע בתזת האקסיומטיות שלו שהנקודה היא לא פחות ולא יותר מאשר העצם שמוגדר לקיים את אקסיומות הגאומטריה הנוגעים לעצם כזה. מאחר שהנקודה בעצם נבנית על ידי הגדרה כך שתקיים את האקסיומות, ברור שאין כעת שום פרדוקס או סתירה לוגית. למעשה, שאלת האמיתות של קיום הנקודה, כפי שהוגדרה על ידי הילברט, הופכת לחסרת משמעות. ברם, הנקודה של הילברט איננה הנקודה הממשית שאנו מתייחסים אליה ומדברים עליה (אף על פי שההגדרות נבנו כך שיהיה דמיון רב בין השתיים). לכן, התשובה של הילברט טובה רק לגבי הנקודה שהגדיר ולא לגבי הנקודה הגאומטרית.

סוגיות אלה – של אקטואליזם מול פוטנציאליזם – עדיין נמצאות במחלוקת בין פילוסופים של המדע, הלשון והמתמטיקה.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא נקודה בוויקישיתוף

Read other articles:

NIO 333 Formula E TeamBerdiri2013 (sebagai Team China Racing (NEXTEV))Kantor pusatSilverstone Park, Britania RayaPrinsipal timAlex HuiPembalap03. Sérgio Sette Câmara33. Dan Ticktum Adam Carroll[a]Situs webhttps://www.nio.io/formulae/SejarahSeri saat iniFormula EGelar pembalapFormula E:2014–2015: Nelson Piquet Jr. Nio 333 Formula E Team merupakan tim balap mobil yang saat ini berpartisipasi dalam Kejuaraan Formula E. Tim ini dimiliki dan dikelola oleh Lisheng Sports serta Gusto En...

 

1945 peace treaty in Greece The Treaty of Varkiza (Greek: Συμφωνία της Βάρκιζας, also known as the Varkiza Pact or the Varkiza Peace Agreement) was signed in Varkiza (near Athens) on February 12, 1945 between the Greek Minister of Foreign Affairs and the Secretary of the Communist Party of Greece (KKE) for EAM-ELAS, following the latter's defeat during the Dekemvriana clashes. One of the aspects of the accord (Article IX) called for a plebiscite to be held within the year i...

 

Overview of the events of 1893 in paleontology List of years in paleontology (table) … 1883 1884 1885 1886 1887 1888 1889 1890 1891 1892 1893 1894 1895 1896 1897 1898 1899 1900 1901 1902 1903 … In science 1890 1891 1892 1893 1894 1895 1896 Art Archaeology Architecture Literature Music Philosophy Science +... Paleontology or palaeontology is the study of prehistoric life forms on Earth through the examination of plant and animal fossils.[1] This includes the study of body fossils, ...

Cari artikel bahasa  Cari berdasarkan kode ISO 639 (Uji coba)  Kolom pencarian ini hanya didukung oleh beberapa antarmuka Halaman bahasa acak Bahasa Ahom 𑜒𑜑𑜪𑜨 Kata Ahom dalam aksara Ahom Dituturkan diIndiaWilayahAssamEtnisSuku AhomKepunahanAbad ke-18 atau ke-19[1]sekarang hanya digunakan sebagai bahasa keagamaan Rumpun bahasaTai–Kadai TaiTai Barat DayaAhom Sistem penulisanAksara AhomAspek ketatabahasaanTipologibahasa bernadaMonosilabismesubjek–predikat�...

 

Carey MulliganCarey Mulligan pada tahun 2013LahirCarey Hannah Mulligan28 Mei 1985 (umur 38)Westminster, London, Britania RayaPekerjaanAktris, penyanyiTahun aktif2004–sekarangSuami/istriMarcus Mumford ​(m. 2012)​Anak2 Carey Hannah Mulligan (lahir 28 Mei 1985) adalah seorang aktris yang berasal dari Inggris,[1] ia dikenal dengan perannya sebagai Kitty Bennet di dalam film Pride&Prejudice pada tahun 2005.[1] Perannya sebagai Jenny dal...

 

Об экономическом термине см. Первородный грех (экономика). ХристианствоБиблия Ветхий Завет Новый Завет Евангелие Десять заповедей Нагорная проповедь Апокрифы Бог, Троица Бог Отец Иисус Христос Святой Дух История христианства Апостолы Хронология христианства Ран�...

About CherrySutradaraStephen ElliottProduserGordon BijelonicElizabeth DestroChris KientzJordan KesslerDitulis olehLorelei LeeStephen ElliottPemeranAshley HinshawLili TaylorDev PatelJonny WestonJames FrancoHeather GrahamPenata musikJeff RussoSinematograferDarren GenetDistributorIFC FilmsTanggal rilis Februari 2012 (2012-02) (Berlin International Film Festival) 21 September 2012 (2012-09-21) ((International)) [1]Durasi102 minutesNegaraUnited StatesBahasaEnglishPe...

 

Artikel ini perlu dikembangkan agar dapat memenuhi kriteria sebagai entri Wikipedia.Bantulah untuk mengembangkan artikel ini. Jika tidak dikembangkan, artikel ini akan dihapus. Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Košice – berita · surat kabar · buku&...

 

'Dinasti LýĐại Việt 1009–1225Ibu kotaThăng LongBahasa yang umum digunakanTionghoa PertengahanAgama Buddhisme, TaoismePemerintahanMonarkiHoàng đế • 1009-1028 Lý Thái Tổ• 1224-1225 Lý Chiêu Hoàng Sejarah • Didirikan 22/11 1009•  `• Dibubarkan 10/01 1225 Mata uangTiền xuKode ISO 3166LY Didahului oleh Digantikan oleh dnsDinasti Lê Awal dnsDinasti Trần Sunting kotak info • Lihat • BicaraBantuan penggunaan temp...

Spa town in Baden-Württemberg, Germany For other uses, see Baden Baden (disambiguation). Town in Baden-Württemberg, GermanyBaden-Baden TownView of Baden-Baden from Mount Merkur. FlagCoat of armsLocation of Baden-Baden Baden-Baden Show map of GermanyBaden-Baden Show map of Baden-WürttembergCoordinates: 48°45′46″N 08°14′27″E / 48.76278°N 8.24083°E / 48.76278; 8.24083CountryGermanyStateBaden-WürttembergAdmin. regionKarlsruhe DistrictUrban districtGovernmen...

 

TV station in Bakersfield, California KCBT-LDBakersfield, CaliforniaUnited StatesChannelsDigital: 34 (UHF)Virtual: 34BrandingKCBT-TV 34ProgrammingAffiliations34.1: Estrella TVfor others, see § SubchannelsOwnershipOwnerCocola BroadcastingSister stationsKBFK-LP, KJOI-LDHistoryFormer call signsK33BY (1988–1998)KJOI-LP (1998–2005)KVPT-LP (2005–2009)KCBT-LP (2009–2010)Former channel number(s)Analog: 55 (UHF), 33 (UHF), 35 (UHF)Former affiliationsJewelry Television (until 2004)PBS (vi...

 

Sceaux 行政国 フランス地域圏 (Région) イル=ド=フランス地域圏県 (département) オー=ド=セーヌ県郡 (arrondissement) アントニー郡小郡 (canton) 小郡庁所在地INSEEコード 92071郵便番号 92330市長(任期) フィリップ・ローラン(2008年-2014年)自治体間連合 (fr) メトロポール・デュ・グラン・パリ人口動態人口 19,679人(2007年)人口密度 5466人/km2住民の呼称 Scéens地理座標 北緯48度4...

この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字が含まれています(詳細)。 数字の大字(だいじ)は、漢数字の一種。通常用いる単純な字形の漢数字(小字)の代わりに同じ音の別の漢字を用いるものである。 概要 壱万円日本銀行券(「壱」が大字) 弐千円日本銀行券(「弐」が大字) 漢数字には「一」「二」「三」と続く小字と、「壱」「�...

 

Сельское поселение России (МО 2-го уровня)Новотитаровское сельское поселение Флаг[d] Герб 45°14′09″ с. ш. 38°58′16″ в. д.HGЯO Страна  Россия Субъект РФ Краснодарский край Район Динской Включает 4 населённых пункта Адм. центр Новотитаровская Глава сельского пос�...

 

「アプリケーション」はこの項目へ転送されています。英語の意味については「wikt:応用」、「wikt:application」をご覧ください。 この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。(2018年4月) 古い情報を更新する必要があります。(2021年3月)出...

Bandar Udara Internasional Rostov na DonuАэропорт Ростов-на-ДонуIATA: ROVICAO: URRRInformasiJenisKomersialPengelolaJoint Stock Aviation CompanyMelayaniRostov na DonuLokasiRostov na Donu, RusiaMaskapai penghubungDonaviaKetinggian dpl79 mdplKoordinat47°15′30″N 039°49′6″E / 47.25833°N 39.81833°E / 47.25833; 39.81833Koordinat: 47°15′30″N 039°49′6″E / 47.25833°N 39.81833°E / 47.25833; 39.81833Situ...

 

الأوضاع القانونية لزواج المثليين زواج المثليين يتم الاعتراف به وعقده هولندا1 بلجيكا إسبانبا كندا جنوب أفريقيا النرويج السويد المكسيك البرتغال آيسلندا الأرجنتين الدنمارك البرازيل فرنسا الأوروغواي نيوزيلندا3 المملكة المتحدة4 لوكسمبورغ الولايات المتحدة5 جمهورية أيرلندا ...

 

愛媛県立宇和高等学校三瓶分校 北緯33度22分35秒 東経132度25分31秒 / 北緯33.37639度 東経132.42528度 / 33.37639; 132.42528座標: 北緯33度22分35秒 東経132度25分31秒 / 北緯33.37639度 東経132.42528度 / 33.37639; 132.42528過去の名称 第二山下実科高等女学校第二山下高等女学校愛媛県立三瓶高等学校国公私立の別 公立学校設置者  愛媛県学区 南予学区学区�...

Untuk orang lain dengan nama yang sama, lihat Mary Ellis (disambiguasi). Mary EllisEllis pada 1920LahirMay Belle Elsas(1897-06-15)15 Juni 1897Manhattan, New York City, Amerika SerikatMeninggal30 Januari 2003(2003-01-30) (umur 105)London, InggrisTahun aktif1918–1994 Mary Ellis (nama lahir May Belle Elsas, 15 Juni 1897 – 30 Januari 2003) adalah seorang pemeran dan penyanyi Amerika Serikat yang tampil pada panggung, radio, televisi dan film, yang dikenal karena peran-...

 

Fox/ABC affiliate in Macon, Georgia WGXAMacon, GeorgiaUnited StatesChannelsDigital: 26 (UHF)Virtual: 24Branding24.1: WGXA Fox 2424.2: WGXA ABC 16WGXA NewsProgrammingAffiliations24.1: Fox24.2: ABC24.3: CometOwnershipOwnerSinclair Broadcast Group(WGXA Licensee, LLC)HistoryFirst air dateApril 21, 1982 (42 years ago) (1982-04-21)Former call signsWWLG (CP, 1980–1982)[1]Former channel number(s)Analog: 24 (UHF, 1982–2009)Digital: 16 (UHF, 2000–2019)Former affiliationsABC ...