עזיקרי נישא לעליזה ונולדה להם בת בשם פאני. באמצע שנות ה-60 הכירה עליזה את הזמר אריס סאן והתפתח ביניהם שיתוף פעולה מקצועי וגם רומן שכיכב בטורי הרכילות באותה עת. בעקבות הרומן נפרדו בני הזוג עזיקרי, אולם המשיכו להתגורר בסמיכות בתל אביב. ניסים עזיקרי נטל חלק בגידול הבת המשותפת פאני ואחותה הצעירה סאני, בתם של עליזה ואריס סאן, עד שעליזה עזבה את הארץ בתחילת שנות ה-70.
עזיקרי הגיש פינה בתוכנית הטלוויזיה "זהו זה!", ביחד עם בנו גורי, וכן הוציא תקליט אודיו בו הוא מקריין עיבוד בחרוזים ליצירתו של סרגיי פרוקופייב, "פטר והזאב".
בשנת 1975 הציג ציורים בתערוכה קבוצתית בגלריה 123 בתל אביב.
בשנת 1988 יצא לאור ספרו של עזיקרי "רשמים בלי מסכות" בהוצאת משרד הביטחון במסגרת האוניברסיטה המשודרת. הספר מכיל אוסף של שיחות, בהן הוא מסביר את האופן שבו ניגש לגלם דמויות שונות במהלך הקריירה שלו.
לאורך שנות חייו, לקה פעמיים בהתקף לב ובפעם השלישית נפטר מהתקף לב בשנתו והוא בן 50. הוא נקבר בבית העלמין קריית שאול בתל אביב.
הותיר אחריו, מנישואיו הראשונים לזמרת עליזה עזיקרי, את בתו פאני, ומנישואיו השניים, את אשתו חמדה ושני ילדים.
לאחר מותו החליט יעקב אגמון, מייסד פסטיבל "תיאטרונטו" להצגות יחיד, כי הפרס להצגה הזוכה בפסטיבל יקרא "פרס נסים עזיקרי".
באוקטובר 2010 הוצב לוח זיכרון על הבית בו התגורר ברחוב ביל"ו בתל אביב.
