באלגברה מופשטת, הנורמה של אלגברה ${\displaystyle A}$ מעל שדה ${\displaystyle F}$ היא פונקציה כפלית מסוימת, המוגדרת בעזרת הפולינום האופייני של איברים באלגברה. בין הדוגמאות המוכרות ביותר: הפונקציה ${\displaystyle N(x+yi)=x^{2}+y^{2}}$, שהיא הנורמה של מספרים מרוכבים בהרחבה ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ של המרוכבים מעל הממשיים, והדטרמיננטה, שהיא הנורמה עבור אלגברת המטריצות מעל שדה הבסיס.

בניגוד לנורמה האנליטית, הנורמה האלגברית יכולה במקרים רבים לקבל את הערך ${\displaystyle 0}$ גם באיברים שאינם ${\displaystyle 0}$.

אם ${\displaystyle A}$ אלגברה מממד סופי מעל שדה ${\displaystyle F}$, אפשר לבחור לה בסיס ${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}}$, ולהתבונן באיבר ${\displaystyle X=x_{1}b_{1}+\cdots +x_{n}b_{n}}$ של האלגברה ${\displaystyle A\otimes _{F}F(x_{1},\dots ,x_{n})}$ המתקבלת מהרחבת סקלרים מ-${\displaystyle F}$ לשדה הפונקציות ${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n})}$. ל-${\displaystyle X}$ יש פולינום מינימלי מתוקן הנקרא הפולינום המינימלי הגנרי של ${\displaystyle A}$, והמעלה שלו, ${\displaystyle m}$, היא הדרגה של האלגברה. המקדם האחרון של הפולינום המינימלי, שהוא פולינום הומוגני ${\displaystyle (-1)^{m-1}N}$ ממעלה ${\displaystyle m}$ במקדמים ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, הוא הנורמה של איברים מ-${\displaystyle A}$. הנורמה מקיימת את התנאי ${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$, ואם ${\displaystyle \ \alpha \in F}$ אז ${\displaystyle N(\alpha )=\alpha ^{m}}$.

אם מעלת הפולינום המינימלי של איבר שווה לדרגה (וזה כך "כמעט לכל איבר" – ראו טופולוגיית זריצקי), אז אפשר לקרוא את הנורמה מתוך המקדם החופשי של הפולינום המינימלי עצמו (ללא צורך בבניית הפולינום הגנרי). הנורמה של כל מחלק אפס היא אפס.

אם ${\displaystyle K/F}$ הרחבת גלואה של שדות, אפשר לראות ב-${\displaystyle K}$ אלגברה מעל השדה ${\displaystyle F}$, ולהגדיר עבורו נורמה על-פי ההגדרה הכללית לעיל. נסמן ב-${\displaystyle \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}}$ את האיברים בחבורת גלואה של ההרחבה (כאשר ${\displaystyle n}$ שווה לממד ההרחבה). כל איבר ${\displaystyle a\in K}$ מאפס את הפולינום ${\displaystyle f(\lambda )=(\lambda -\sigma _{1}(a))\cdots (\lambda -\sigma _{n}(a))}$, שמקדמיו שייכים לשדה השֶבת ${\displaystyle F}$, ופולינום זה (עבור ${\displaystyle a}$ גנרי) הוא הפולינום המינימלי הגנרי של ${\displaystyle K}$. מכאן מתקבלת הנוסחה ${\displaystyle N_{K/F}(a)=\sigma _{1}(a)\cdots \sigma _{n}(a)}$.

לדוגמה, אם ${\displaystyle K=F\left[{\sqrt {d}}\right]}$, אז האוטומורפיזם הלא-טריוויאלי מוגדר לפי הנוסחה ${\displaystyle \sigma (a+b{\sqrt {d}})=a-b{\sqrt {d}}}$, ואז הנורמה היא ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}}$.

את הנוסחה הזו אפשר להכליל לכל מקרה שבו ההרחבה ${\displaystyle K/F}$ ספרבילית, משום שאז קיים "סגור גלואה" ${\displaystyle K\subseteq E}$, היינו שדה ${\displaystyle E}$ המהווה הרחבת גלואה של ${\displaystyle F}$. במקרה זה אפשר לבחור אוטומורפיזמים ${\displaystyle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}}$ של ${\displaystyle E}$ המשרים פעולות שונות על ${\displaystyle K}$, ולהגדיר את הנורמה באותה צורה.

הנורמה של הרחבות ספרביליות היא טרנזיטיבית, כלומר, אם ${\displaystyle F\subseteq L\subseteq K}$, אז ${\displaystyle N_{L/F}\circ N_{K/L}=N_{K/F}}$.

אפשר להגדיר נורמה של אידיאלים בתחום שלמות ${\displaystyle D}$, לפי גודלו של חוג המנה ${\displaystyle N(I)=|D/I|}$. ההגדרה שימושית בעיקר בחוגים שכל המנות שלהם סופיות. ההגדרה מכלילה את הערך המוחלט המקובל במספרים שלמים, משום שהנורמה של האידיאל ${\displaystyle \ n\mathbb {Z} }$ בחוג המספרים השלמים היא ${\displaystyle |\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} |=n}$. עבור אידיאלים ראשיים הנוסחה כפלית בכל תחום שלמות: ${\displaystyle |D/Dab|=|D/Da|\cdot |D/Db|}$.

אם ${\displaystyle D={\mathcal {O}}_{K}}$ הוא חוג השלמים של שדה מספרים ${\displaystyle K}$, אז הנורמה היא פונקציה כפלית לכל האידיאלים, כלומר, ${\displaystyle N(IJ)=N(I)N(J)}$. יתרה מזו, הנורמה מכלילה את זו של איברים שלמים ב-${\displaystyle K}$: ${\displaystyle N(a{\mathcal {O}}_{K})=N_{K/F}(a)}$. אם ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ הוא אידיאל ראשוני של חוג השלמים, ומתקיים ${\displaystyle \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {P}}=p\mathbb {Z} }$ עבור ראשוני שלם ${\displaystyle p}$, אז ${\displaystyle N({\mathfrak {P}})=p^{f}}$, כאשר ${\displaystyle f}$ הוא "מקדם הממד" של ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ (השווה לממד של ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {P}}}$ מכל ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$).

• נורמה (אנליזה)