משפט פרובניוס בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק ${\displaystyle d}$ של הסדר של חבורה ${\displaystyle G}$, מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה ${\displaystyle x^{d}=1}$ מתחלק ב-${\displaystyle d}$. המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895^[1].

תהי G חבורה ויהי ${\displaystyle d}$ מחלק של הסדר ${\displaystyle |G|}$. נסמן ב ${\displaystyle A_{d}=\{x\in G\mid x^{d}=e\}}$ את אוסף האיברים מסדר המחלק את ${\displaystyle d}$. אזי ${\displaystyle d\mid |A_{d}|}$.

נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:

כל איבר מסדר ${\displaystyle nm}$, כאשר ${\displaystyle n,m}$ זרים, אפשר לפרק בצורה ${\displaystyle x=yz}$ כאשר ${\displaystyle zy=yz=x,o(y)=n,o(z)=m}$ (למעשה אפשר לבחור את ${\displaystyle y,z}$ להיות חזקות של ${\displaystyle x}$).

נעזר גם בלמה הבאה:

למה: לכל n אם ${\displaystyle A_{n}}$ לא ריקה אז ${\displaystyle \phi (n)\mid |A_{n}|}$ כאשר ${\displaystyle \phi }$ היא פונקציית אוילר. בנוסף אם ${\displaystyle d\mid |G|}$ מהצורה ${\displaystyle d=p^{\alpha }s}$ כאשר ${\displaystyle p^{\alpha +1}\mid |G|,(p,s)=1}$ ואם ${\displaystyle A=A_{dp}\setminus A_{d}}$ אז ${\displaystyle A}$ ריקה או ש ${\displaystyle \phi (p^{\alpha +1})\mid |A|}$.

הוכחה: נתבונן ביחס השקילות הבא: ${\displaystyle x\equiv y\iff \langle x\rangle =\langle y\rangle }$, כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים ${\displaystyle x\equiv x^{t}\iff (t,o(x))=1}$. לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא ${\displaystyle \phi (o(x))}$. מקבלים ש ${\displaystyle A_{n}}$ איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש ${\displaystyle \phi (n)\mid |A_{n}|}$. נרשום את A בצורה הבאה: ${\displaystyle A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}s_{1},s1\mid s\}}$. אם A אינה ריקה נקבל ש${\displaystyle A=\bigcup _{s1\mid s}\bigcup _{o(x_{i})=p^{\alpha +1}s_{1}}[x]}$ כאשר ${\displaystyle [x]}$ מסמן את המחלקה של ${\displaystyle x}$. כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב ${\displaystyle \phi (p^{\alpha +1}s_{1})=\phi (p^{\alpha +1})\phi (s_{1})}$. ונקבל את הדרוש.

הוכחת המשפט:

יהו ${\displaystyle d\mid n:=|G|}$. ההוכחה באינדוקציה כפולה על ${\displaystyle n,d}$. מקרה הבסיס ${\displaystyle n=1}$ או ${\displaystyle d=n}$ טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי ${\displaystyle p\mid {\tfrac {|G|}{d}},d=p^{\alpha }s,(s,p)=1}$. תהי ${\displaystyle A=A_{dp}\setminus A_{d}}$. מתקיים ${\displaystyle |A_{d}|=|A_{dp}|-|A|}$.

מאינדוקציה נקבל כי ${\displaystyle dp\mid |A_{dp}|}$ ולכן מספיק להראות ש ${\displaystyle d\mid |A|}$. אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה ${\displaystyle p^{\alpha }(p-1)=\phi (p^{\alpha +1})\mid |A|}$ ולכן מספיק להראות ש ${\displaystyle s\mid |A|}$. נרשום${\displaystyle A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}s_{1},s1\mid s\}}$ ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש ${\displaystyle x=yz=zy,o(y)=p^{\alpha +1},z^{s}=e}$. נסמן ב ${\displaystyle C(a)=C(\langle a\rangle )}$ את המרכז של a וב ${\displaystyle \operatorname {conj} (a)}$ את מחלקת הצמידות של ${\displaystyle a}$. עבור ${\displaystyle a}$ ב ${\displaystyle G}$ נגדיר ${\displaystyle S_{a}=\{ab\mid b^{s}=e,b\in C(a)\},S_{\operatorname {conj} (a)}=\bigcup _{x\in \operatorname {conj} (a)}S_{x}}$. מקבלים ש ${\displaystyle A=\bigcup _{o(a)=p^{\alpha +1}}S_{a}}$. נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו ${\displaystyle o(a)=o(a_{1})=p^{\alpha +1},ab=ba=b_{1}a_{1}=a_{1}b_{1},b^{s}=b_{1}^{s}=1}$. נקבל ש ${\displaystyle a^{s}=a^{s}b^{s}=(ab)^{s}=(a_{1}b_{1})^{s}=a_{1}^{s}b_{1}^{s}=a_{1}^{s}}$. כיוון ש${\displaystyle o(a)=o(a_{1})=p^{\alpha +1}}$ וכן ${\displaystyle (s,p)=1}$נקבל ש ${\displaystyle a=a_{1}}$ והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש ${\displaystyle s\mid |S_{\operatorname {conj} (a)}|}$ לכל a מסדר ${\displaystyle p^{\alpha +1}}$. נשים לב שהעתקה ${\displaystyle \Phi \colon S_{a}\to S_{x^{-1}ax},ab\to x^{-1}axx^{-1}bx}$ היא התאמה חח"ע ועל ולכן ${\displaystyle |S_{\operatorname {conj} (a)}|=|\operatorname {conj} (a)||S_{a}|}$. יהי ${\displaystyle k=|C(a)/\langle a\rangle |,m=(s,k)}$. ההתאמה ${\displaystyle ab\to b\langle a\rangle }$ היא התאמה חח"ע ועל מ ${\displaystyle S_{a}}$ ל ${\displaystyle \{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{s}=e\}=\{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{m}=e\}}$. כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש ${\displaystyle m\mid |\{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{m}=e\}|=|S_{a}|}$ ולכן ${\displaystyle |S_{a}|=cm}$. ממשפט מסלול מייצב נקבל ש ${\displaystyle |\operatorname {conj} (a)|={\tfrac {|G|}{|C(a)|}}}$ ולכן ${\displaystyle |S_{\operatorname {conj} (a)}|=|\operatorname {conj} (a)||S_{a}|={\tfrac {|G||S_{a}|}{|C(a)|}}={\tfrac {ncm}{kp^{\alpha +1}}}}$. כיוון שגם ${\displaystyle k}$ וגם ${\displaystyle s}$ מחלקים את ${\displaystyle n}$ נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם ${\displaystyle \operatorname {lcm} (k,s)={\tfrac {ks}{m}}}$ מחלקת את ${\displaystyle n}$. לכן ${\displaystyle s}$ מחלק את ${\displaystyle {\tfrac {ncm}{k}}}$. מכיוון ש ${\displaystyle (s,p)=1}$ נקבל ש ${\displaystyle s\mid |S_{\operatorname {conj} (a)}|}$ וסיימנו.

1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם.

מסקנה 1: תהי G חבורה כך ש ${\displaystyle |G|=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha _{i}}}$ ו ${\displaystyle p_{i}}$ סדרה עולה. נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית. במקרה כזה תת-חבורת ${\displaystyle p_{r}}$ סילו היא נורמלית ב ${\displaystyle G}$ ובנוסף ${\displaystyle G}$ חבורה פתירה. בפרט אם ${\displaystyle |G|}$חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת ${\displaystyle p_{r}}$ סילו שלה היא נורמלית.

הוכחה: נוכיח באינדוקציה על ${\displaystyle d}$ ש ${\displaystyle d=|A_{d}|}$ עבור ${\displaystyle d\mid |G|}$ כך ש ${\displaystyle d=p_{k}^{\beta _{k}}\prod _{i=k+1}^{r}p_{i}^{\alpha _{i}}1\leq k\leq r,\beta _{k}\leq \alpha _{k}}$. המקרה של ${\displaystyle d=|G|}$ ברור. נניח שהראנו לכל מחלק ${\displaystyle d'}$ מהצורה לעיל הגדול מ ${\displaystyle d}$, ונוכיח כעת עבור ${\displaystyle d}$. יהי ${\displaystyle p}$ המחלק הראשוני הגדול ביותר של ${\displaystyle {\tfrac {|G|}{d}}}$. תהי${\displaystyle A=A_{dp}/A_{d}}$. כיוון שחבורות ${\displaystyle p}$ סילו ציקליות, ${\displaystyle A}$ לא ריקה. מהנחת האינדוקציה ${\displaystyle |A_{dp}|=dp}$. ממשפט פרובניוס קיים ${\displaystyle 1\leq t<p}$ כך ש ${\displaystyle |A_{d}|=dt}$. מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש ${\displaystyle p-1\mid dp-dt=d(p-t)}$ מהצורה של ${\displaystyle d}$ כל מחלק של ${\displaystyle d}$ הוא לפחות ${\displaystyle p}$ ולכן ${\displaystyle (p-1,d)=1}$ לכן ${\displaystyle p-1\mid (p-t)}$ ולכן ${\displaystyle t=1}$. קיבלנו לכן ש ${\displaystyle d=|A_{d}|}$ עבור d מהצורה הנ"ל. בפרט עבור ${\displaystyle d=p_{r}^{\alpha _{r}}}$נקבל ש ${\displaystyle |A_{p_{r}^{\alpha _{r}}}|=p_{r}^{\alpha _{r}}}$ ונקבל שתת-חבורת ה ${\displaystyle p_{r}}$ סילו ${\displaystyle N}$ יחידה ולכן נורמלית. מאינדוקציה ${\displaystyle N}$,${\displaystyle G/N}$ פתירות ונקבל את הדרוש. ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית.

באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה:

מסקנה 2: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ ${\displaystyle (n,\phi (n))\neq 1}$.

2) על ידי חישוב ${\displaystyle |A_{d}|}$ בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים. למשל לכל ראשוני p ולכל ${\displaystyle p\leq n}$ על ידי חישוב ${\displaystyle |A_{p}|}$ בחבורה הסימטרית ${\displaystyle S_{n}}$ ניתן להראות כי מתקיים:${\displaystyle \sum _{k=1}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{p}}\right\rfloor }{\tfrac {n!}{p^{k}k!(n-pk)!}}\equiv -1{\pmod {p}}}$.

• גרסה כללית יותר (הול 1959 משפט 9.1.1) היא שאם ${\displaystyle C}$ היא מחלקת צמידות עם ${\displaystyle h}$ איברים אזי מספר האיברים ${\displaystyle k}$ כך ש ${\displaystyle k^{n}}$ נמצא ב ${\displaystyle C}$ מתחלק ב ${\displaystyle (hn,|G|)}$^[2].
• פרובניוס שיער שאם ${\displaystyle d\mid |G|}$ ו ${\displaystyle d=|A_{d}|}$ אז ${\displaystyle A_{d}\vartriangleleft G}$, תת-חבורה נורמלית של ${\displaystyle G}$. ההשערה הוכחה בשנת 1991 תוך שימוש במשפט המיון לחבורות סופיות פשוטות לאחר עבודה רבה^[3].

• משפטי סילו

• הוכחת המשפט ושימושים