בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.
|
במתמטיקה, ובפרט בתורת ההסתברות, משפט הרשל-מקסוול הוא משפט הקובע כי משתנה מקרי רציף רב ממדי המקיים סימטריה לסיבוב ואי-תלות בין רכיביו הוא בהכרח משתנה מקרי המתפלג רב-נורמלית כאשר כל רכיביו בעלי אותה סטיית תקן.
משפט זה, ביחד עם משפט הגבול המרכזי וחוק המספרים הגדולים, מציגים את ייחודה של ההתפלגות הנורמלית על-פני התפלגויות אחרות. מעבר לכך, המשפט מאפשר אינטואיציה גאומטרית להופעתו של פאי בפונקציית צפיפות ההסתברות של ההתפלגות הנורמלית.
המשפט נוסח לראשונה במאמר של ג'ון הרשל משנת 1850,[1] ונוסח שוב במאמר של ג'יימס קלרק מקסוול משנת 1860 כטענת עזר למאמר בנושא מערכות דינמיות של גז.[2]
נוסח המשפט
בהינתן מרחב הסתברות , ומשתנה מקרי רב ממדי המקיים את התנאים הבאים:
- כל המשתנים המקריים רציפים.
- כל המשתנים המקריים בלתי-תלויים זה בזה בזוגות.
- פונקציית צפיפות ההסתברות של סימטרית לסיבוב במרחב .
אזי כל המשתנים המקריים שווי התפלגות, ובפרט כולם מתפלגים נורמלית עם ממוצע 0 ואותה סטיית תקן.
הוכחה
המקרה הדו-ממדי
מכיוון שהמשתנים המקריים רציפים, קיימות לשניהם פונקציות צפיפות הסתברות ().
עבור ניתן לסמן פונקציית צפיפות הסתברות כוללת .
מכיוון ו- בלתי-תלויים מתקיים .
לכל קיימים ו- כך ש- ו-. בגלל תנאי הסימטריה מתקיים כי:
בגלל תנאי הנרמול על פונקציית צפיפות ההסתברות בהכרח מתקיים כי (אחרת האינטגרל של על כל היה מתאפס). באופן דומה ניתן להוכיח כי . מטעמי סימטריה סיבובית:
כאשר . על ידי חילוק משוואה (1) ב- מתקבל:
זוהי משוואה פונקציונלית שפתרונה הוא מהצורה עבור כלשהו. על ידי הצבה, נרמול פונקציות ההסתברות והחלפת משתנים, מתקבל כי:
זוהי פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן , כרצוי. מ.ש.ל.
קיימת הוכחה נוספת למשפט המבוססת על חוק המספרים הגדולים.[3]
המקרה הכללי
בגלל שהסמטריה מתקיימת לכל סיבוב שהוא, היא מתקיימת בפרט לכל סיבוב בתת-מרחב דו-ממדי של . כלומר, לכל זוג משתנים מקריים מתקיים תנאי המשפט הדו-ממדי, ולכן שתיהן מתפלגות נורמלית עם ממוצע 0 ואותה סטיית תקן. הדבר נכון לכל זוג משתנים מקריים, ולכן נכון לכל המשתנים המקריים במשפט.
ראו גם
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ^ Herschel, J. F. W., Quetelet on probabilities, Edinburgh Rev., 1850, עמ' 92
- ^ Philosophical Magazine, Taylor & Francis., 1860. (באנגלית)
- ^ Somabha Mukherjee, A Proof of the Herschel-Maxwell Theorem Using the Strong Law of Large Numbers, Pi Mu Epsilon Journal 14, 2017, עמ' 383–387