משפט היינה-בורל הוא משפט יסודי באנליזה מתמטית, הקובע שקבוצה בישר הממשי היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. המשפט חל באותה מידה על קבוצות של וקטורים, כלומר תת-קבוצות של המרחבים האוקלידיים ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

האפיון של קבוצות קומפקטיות שנותן משפט היינה-בורל אינו נכון בכל מרחב מטרי, ודרכו מצביע המשפט על כך שמערכת האקסיומות של המרחבים האוקלידיים חזקה מזו של מרחבים מטריים אחרים.

המשפט קשור לשני משפטים חשובים אחרים - משפט בולצאנו-ויירשטראס והלמה של קנטור - ואפשר להסיק אותם בקלות יחסית זה מזה.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אדוארד היינה ואמיל בורל.

הקומפקטיות היא תכונה מרכזית בטופולוגיה, והיא קשורה לתכונות חשובות רבות אחרות. משפט היינה-בורל קובע, כאמור, שבמרחבים האוקלידיים אפשר לאפיין אותה באמצעות שתי דרישות פשוטות יחסית: שהקבוצה המדוברת תהיה סגורה וחסומה. כיוון אחד של האפיון הזה נכון בכל מרחב מטרי: כל קבוצה קומפקטית היא תמיד סגורה וחסומה. ההפך אינו נכון.

אפיון אחר, כללי יותר, קובע ש(בכל מרחב מטרי), קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא שלמה וחסומה כליל. הדרישה השנייה, שהקבוצה תהיה חסומה כליל, חזקה יותר מכך שהקבוצה תהיה חסומה סתם, אלא שקבוצה חסומה המוכלת בקבוצה קומפקטית היא גם חסומה כליל. בנוסף לזה, אם המרחב עצמו שלם, אז כל קבוצה סגורה היא שלמה, ולכן במרחבים שלמים קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה כליל. אפיונים אלה מכלילים את משפט היינה-בורל.

כל קבוצה קומפקטית במרחב מטרי היא סגורה וחסומה. הקושי הוא להוכיח שקבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית. כדי להוכיח זאת, מספיק להראות את הטענות הבאות.

1. תיבה במרחב ${\displaystyle d}$-ממדי היא קבוצה קומפקטית: נניח שיש כיסוי פתוח של התיבה שאין לו תת-כיסוי סופי. נחלק את התיבה ל-${\displaystyle 2^{d}}$ "רבעים", על ידי חלוקת כל אחד מצירי התיבה לשניים. לפי ההנחה, לאחד מאלה אין תת-כיסוי סופי. נמשיך באופן כזה, ונקבל סדרת תיבות המוכלות כל אחת בקודמתה, עם קוטר השואף לאפס. לפי הלמה של קנטור, חיתוך כל התיבות בסדרה הוא נקודה אחת. אחת הקבוצות בכיסוי מכסה את הנקודה הזו, ולכן מכילה תיבה מן הסדרה שלנו - אבל זהו כיסוי סופי לאותה תיבה, בסתירה לאופן בחירת התיבות בסדרה.
2. כל קבוצה חסומה מוכלת בתיבה סגורה כלשהי: משום שכל כדור מוכל בתיבה.
3. תת קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית, אף היא קומפקטית: בהינתן קבוצה סגורה ${\displaystyle B}$ המוכלת בקבוצה קומפקטית ${\displaystyle A}$, נתבונן בכיסוי פתוח של ${\displaystyle B}$. נצרף לכיסוי הפתוח הזה את ההפרש ${\displaystyle A\setminus B}$ וקיבלנו כיסוי פתוח של ${\displaystyle A}$, שיש לו תת-כיסוי סופי. נסיר ממנו את ${\displaystyle A\setminus B}$ ונקבל תת-כיסוי סופי של הכיסוי של ${\displaystyle B}$.

• משפט היינה-בורל, באתר MathWorld (באנגלית)