באנליזה מרוכבת, משפט גאוס-לוקאס, הקרוי על שמם של קרל פרידריך גאוס ופליקס לוקאס, חוסם את שורשי הנגזרת ${\displaystyle \,P'}$ של פולינום P במונחי השורשים של P עצמו. קבוצת השורשים של פולינום ממשי או מרוכב היא קבוצת נקודות במישור המרוכב. המשפט קובע כי כל השורשים של ${\displaystyle \,P'}$ נמצאים בתוך הקמור של השורשים של P.

בין המסמכים שהותיר מאחוריו קרל פרידריך גאוס (1777 - 1855) נמצאה מחברת אשר הוא החל לכתוב בספטמבר 1813. בעמוד 76 במחברת הוא כתב את הטענה שנודעה כמשפט גאוס-לוקאס. מספר מכתבים שלו שנשלחו לשומאכר מעידים שהוא חשב על המשפט לראשונה ביוני 1836 ושהוא הכיר היטב את ההשלכות הנובעות ממנו. מאוחר יותר, פליקס לוקאס ניסח משפט דומה, אם כי בגרסה מעט חלשה יותר, במאמר מ-1868. המשפט נתגלה מחדש באופן בלתי תלוי על ידי Legebeke ב-1882, בעזרת שיקולים גאומטריים.

אם P הוא פולינום בעל מקדמים מרוכבים, כל האפסים של ${\displaystyle \,P'}$ נמצאים בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של P (במישור המרוכב).

מן המשפט היסודי של האלגברה, נובע כי ל-P קיים פירוק יחיד מעל שדה המספרים המרוכבים: ${\displaystyle P(z)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(z-a_{i})}$, כאשר המספרים ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ הם השורשים של P.

יהי Z מספר מרוכב עבורו ${\displaystyle P(z)\neq 0}$. נבצע בפולינום נגזרת לוגריתמית ונקבל: ${\displaystyle {\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}.}$. באופן ספציפי, אם Z הוא שורש של ${\displaystyle P'}$ ועדיין ${\displaystyle P(z)\neq 0}$, אז: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}=0.\ }$ או: ${\displaystyle \ \sum _{i=1}^{n}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}=0.}$. הביטוי האחרון יכול להיכתב גם כ-: ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}\right){\overline {z}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}{\overline {a_{i}}}.}$ . ניתן לראות כי Z הוא סכום משקלים בעל מקדמים חיוביים, או מרכז כובד של המספרים המרוכבים ${\displaystyle a_{i}}$ ולכן הוא נמצא בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של P, מש"ל.

• עמודים 91-92 ,Analytic Theory of Polynomials

מדיה וקבצים בנושא משפט גאוס-לוקאס בוויקישיתוף

• משפט גאוס-לוקאס, באתר MathWorld (באנגלית)