משוואת ריינולדס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת את פילוג הלחץ בשכבות דקות של זורם צמיג במכניקת הזורמים. המשוואה פותחה לראשונה על ידי אוסבורן ריינולדס ב-1886. ניתן להשתמש במשוואת ריינולדס כמעט לכל סוג של מסוב בו שני החלקים המוצקים מופרדים על ידי נוזל או גז.

עבור המקרה במתואר בתמונה משמאל משוואת ריינולדס היא: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho U_{b}{\frac {\partial h}{\partial x}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$

כאשר:

• ${\displaystyle x,y,z}$ - הן קואורדינטות קרטזיות.
• ${\displaystyle p}$ - לחץ כפונקציה של ${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle h}$ - פרופיל המשטח העליון כפונקציה של ${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle \rho }$ - צפיפות הנוזל.
• ${\displaystyle \mu }$ - צמיגות הנוזל.
• ${\displaystyle U_{a}}$ - מהירות בכיוון ${\displaystyle x}$ של המשטח התחתון.
• ${\displaystyle U_{b}}$ - מהירות בכיוון ${\displaystyle x}$ של המשטח העליון.
• ${\displaystyle w_{a}}$ - מהירות בכיוון ציר ${\displaystyle y}$ של המשטח התחתון.
• ${\displaystyle w_{b}}$ - מהירות בכיוון ציר ${\displaystyle y}$ של המשטח העליון.

1. הזורם הוא ניוטוני, כוחות הגזירה פרופורציונליים למהירות.
2. אינרציה וכוחות גוף זניחים.
3. שינויים בלחץ לאורך ציר ${\displaystyle z}$ זניחים כלומר ${\displaystyle p=p(x,y)}$
4. הזרימה היא למינארית. (עבור זרימה טורבולנטית יש להשתמש במשוואת ריינולדס שונה)
5. אפקטים עקב עקמומיות המשטח העליון זניחים. כלומר עובי הזורם קטן בהרבה מעובי ואורך המיסב.

• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)}$ - זרימת הזורם עקב גרדיאנט לחץ.
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)}$ -זרימת הזורם עקב גזירה (זרימת קוואט).
• ${\displaystyle \rho U_{b}{\frac {\partial h}{\partial x}}}$ - לחיצה כתוצאה מהגאומטריה של המשטח העליון.
• ${\displaystyle \rho \left(w_{a}-w_{b}\right)}$ - לחיצה עקב תנועה של שני המשטחים אחד כלפי השני.
• ${\displaystyle h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$ - התפשטות מקומית של הנוזל.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)=h\left(U_{a}+U_{b}\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho }{2}}\right)+\rho h{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)+\left(U_{a}+U_{b}\right)\rho {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {h}{2}}\right)}$

• עבור משטחים קשיחים האיבר ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)=0}$
• שינוי הגאומטריה הוא האיבר החשוב ביותר והוא הגורם ליצירת לחץ במיסב. על מנת לקבל לחץ חיובי על המשטח להיות ${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}<0}$
• האיבר של שינוי הצפיפות לאורך ציר ${\displaystyle x}$ זניח בדרך כלל ביחס לאיבר של שינוי הגאומטריה.${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}>>{\frac {\partial \rho }{\partial x}}}$

פתרון משוואה זו אינו משימה קלה, אך בגאומטריות פשוטות משוואה זו ניתנת לפתרון אנליטי.

בדוגמה הבאה ישנן שתי פלטות, התחתונה נעה בכיוון ציר ${\displaystyle x}$ במהירות קבועה והעליונה סטטית אך בשיפוע.

1. מצב מתמיד. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=0}$
2. זורם בלתי דחיס וצמיגות קבועה ${\displaystyle \rho =const,\mu =const}$.
3. מימד הגובה קטן בהרבה ממימד העומק והרוחב. ${\displaystyle h<<L}$
4. בעיה דו־ממדית, כלומר מימד העומק גדול מאוד ביחס לממדים האחרים ואין כל שינוי במימד זה.

עבור הנחות אלו משוואת ריינולדס מצטמצמת לצורה הבאה:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\rho U{\frac {\partial h}{\partial x}}}$

פרופיל המשטח העליון הוא:

${\displaystyle h(x)={\frac {h_{2}-h_{1}}{L}}x+h_{1}}$

בידיעת פרופיל המשטח העליון ניתן למצוא את פילוג הלחץ בצורה אנליטית. הפתרון הוא:

${\displaystyle P(x)=-{\frac {6\mu U}{h(x)^{2}}}x-{\frac {k_{1}}{2*h(x)^{2}*{\frac {h_{2}-h_{1}}{L}}}}+k_{2}}$

כאשר ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ הם קבועי האינטגרציה.

• הרצאותיו של פרופסור משנה אמיר גת, טכניון.
• Michael Khonsari, E. Richard Booser. Applied tribology, bearing design and lubrication. 2nd ed.