במתמטיקה, ובמיוחד בתהליכים הסטוכסטיים מרקוביים בתורת ההסתברות, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב היא זהות המתייחסת להתפלגויות ההסתברות המשותפות של קבוצות שונות של קואורדינטות בתהליך סטוכסטי. המשוואה נגזרה באופן עצמאי במקביל הן על ידי המתמטיקאי הבריטי סידני צ'פמן והן המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

נניח ש-${\displaystyle \{f_{i}\}}$ הוא אוסף מאונדקס של משתנים אקראיים, כלומר תהליך סטוכסטי. נגדיר

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})}$

כפונקציית צפיפות ההסתברות המשותפת של ערכי המשתנים האקראיים ${\displaystyle f_{1}}$ עד ${\displaystyle f_{n}}$. ואז, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב היא:

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}}$

נשים לב שעדיין לא הונח שום דבר לגבי הסדר הזמני של המשתנים האקראיים - המשוואה שלעיל חלה באותה מידה על דחיקה לשוליים של כל אחד מהם.

כאשר התהליך הסטוכסטי הנדון הוא מרקוביאני, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב שקולה לזהות על צפיפות מעבר. בשרשרת מרקוב, מניחים ש-${\displaystyle i_{1}<...<i_{n}}$. ואז, בגלל תכונת מרקוב,

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}\mid f_{n-1}),}$

שבו ההסתברות המותנית ${\displaystyle p_{i;j}(f_{i}\mid f_{j})}$ היא הסתברות המעבר בין הזמנים ${\displaystyle i>j}$ . אז, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב נראית מהצורה:

${\displaystyle p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}\mid f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\,df_{2}.}$

באופן לא רשמי, זה אומר שניתן למצוא את ההסתברות לעבור ממצב 1 למצב 3 מההסתברויות לעבור מ-1 למצב ביניים 2 ולאחר מכן מ-2 ל-3, על ידי חיבור של כל מצבי הביניים האפשריים 2.

כאשר התפלגות ההסתברות על מרחב המצב של שרשרת מרקוב היא בדידה ושרשרת מרקוב הומוגנית, ניתן לבטא את משוואות צ'פמן-קולמוגורוב במונחים של כפל מטריצה (פוטנציאלית אינסופי ממדי), כך:

${\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)\,}$

כאשר ${\displaystyle P(t)}$ היא מטריצת המעבר של קפיצה ${\displaystyle t}$, כלומר, ${\displaystyle P(t)}$ היא המטריצה כך שמצב ${\displaystyle (i,j)}$ מכיל את ההסתברות שהשרשרת תעבור ממצב ${\displaystyle i}$ למצב ${\displaystyle j}$ ב-${\displaystyle t}$ שלבים.

כתוצאה מכך נובע שכדי לחשב את מטריצת המעבר של קפיצה ${\displaystyle t}$, מספיק להעלות את מטריצת המעבר של קפיצה אחת בחזקת ${\displaystyle t}$, כלומר:

${\displaystyle P(t)=P^{t}}$.

הצורה הדיפרנציאלית של משוואת צ'פמן-קולמוגורוב ידועה כמשוואת מאסטר.

• משוואת צ'פמן-קולמוגורוב, באתר MathWorld (באנגלית)