PROFILPELAJAR.COM

מערכות צירים וקואורדינטות

מערכות צירים נפוצות

ראו גם

מערכת הצירים הקַרְטֶזית היא מערכת צירים שהגה בשנת 1637 המתמטיקאי והפילוסוף הצרפתי רנה דקארט, כדרך להצגה מדויקת של מיקום נקודות במישור ובמרחב התלת-ממדי.

במערכת צירים זו – הציר השמאלי מייצג את הציר השלילי (על ידי מספרים בעלי מקדם שלילי) והציר הימני מייצג את הצד החיובי (על ידי מספרים בעלי מקדם חיובי). כך למשל הספרה 1 נמצאת בציר הימני והספרה 1- נמצאת בציר השלילי. כיוון הצירים החיובי והשלילי נעשו באופן שרירותי, ובאותה מידה עשויים להיות נכונים גם אם הופכים אותם. ישנה השערה שהציר החיובי נעשה במקביל לכתיבה הנורמלית ('בחיובית') של הכתיבה באותיות הלטיניות שבה רנה דקארט השתמש, והציר השלילי במקביל לכתיבה הנגדית של רצף הכתיבה הנ"ל.

הגדרה רשמית

מערכת הצירים הקרטזית (במרחב אוקלידי מממד n) היא מערכת המורכבת מ-n וקטורי יחידה הניצבים זה לזה. כלומר: איברי הבסיס היוצרים אותם הם $\ 1\leq i\leq n\ :\ {\vec {e_{i}}}$ כאשר הכוונה כאן היא ל-n-יה סדורה שבה יש 1 במקום ה-i ו-0 בשאר המקומות. בסיס זה נקרא הבסיס הסטנדרטי. בסיס זה מהווה בסיס אורתונורמלי קבוע.

שימושים במערכת הצירים

ברוב המקרים בהם מדובר על מערכת צירים, הכוונה היא למערכת צירים קרטזית. השימוש בה מתאפיין בעיקר בשני המקרים הפרטיים של המישור ( $\mathbb {R} ^{2}$ ) ושל המרחב התלת-ממדי ( $\mathbb {R} ^{3}$ ), שאותם קל לתפוש ולשרטט.

קיים שימוש במערכות צירים נוספות למערכת הצירים הקרטזית, בהם רק הפיזיקה, המתמטיקה, הניווט והגאודזיה עושים שימוש נרחב.

מערכת צירים דו-ממדית

מערכת הצירים הקרטזית המודרנית מוגדרת לרוב על ידי שני קווים ישרים הנקראים צירים, הממוקמים בזווית ישרה אחד מהשני, ויוצרים מישור (מישור ה-xy). הציר האופקי מסומן ב-x, והציר האנכי מסומן ב-y.

נקודת החיתוך של הצירים נקראת ראשית הצירים ומסומנת לרוב באות הלועזית O. כדי לציין נקודה מסוימת במערכת צירים זו, מציינים את יחידת ה-x ואת יחידת ה-y של הנקודה ויוצרים את הזוג הסדור (x,y). במערכת צירים תלת-ממדית נוספת גם יחידת z ונוצרת השלשה הסדורה (x,y,z).

הנקודה p בתמונה הבאה נמצאת במיקום (3,5).

מקרה זה משמש:

תרגום של גאומטריה אוקלידית לגאומטריה אנליטית.
ציור גרפים של תופעות (למשל מכירות) לפי זמן.
הצגה של גרפיקה על מסך המחשב.
שרטוט מפות גאוגרפיות (דו-ממדיות) ושימוש במערכת צירים קרטזית על מנת לתת נקודות ציון (קואורדינטות) למקומות חשובים על גבי המפה. ראו גם: קווי אורך וקווי רוחב.

מערכת צירים תלת-ממדית

בתחילת המאה ה-19 נוסף ממד נוסף של מדידה, בעזרת ציר ה-z.

הבסיס של מערכת צירים זאת הוא

\ {\hat {x}}={\hat {e_{1}}}=(1,0,0)\quad {\hat {y}}={\hat {e_{2}}}=(0,1,0)\quad {\hat {z}}={\hat {e_{3}}}=(0,0,1)

וקל לראות שהם אכן ניצבים גאומטרית וכן אורתוגונליים ביחס למכפלה הסקלרית הסטנדרטית. יתרה מכך, וקטורי הבסיס מהווים שלשה ימנית כפי שניתן לראות מביצוע המכפלה הווקטורית שלהם: $\ {\hat {x}}\times {\hat {y}}={\hat {z}}$ .