PROFILPELAJAR.COM

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, במיוחד באלגברה ליניארית, מטריצה אנטי-סימטרית (באנגלית: Anti-Symmetric Matrix או Skew-Symmetric Matrix)^[1]^[2] היא מטריצה ריבועית שהשחלוף שלה שווה לשלילה שלה. כלומר, הוא מקיים את התנאי^[3]:

$A^{\top }=-A$

במונחי הרכיבים של המטריצה, אם ${\textstyle a_{ij}}$ מציין את הערך בשורה ה־ ${\textstyle i}$ ובעמודה ה־ ${\textstyle j}$ , אז תנאי האנטי-סימטריות שווה ערך ל־

$\forall i,j:a_{ji}=-a_{ij}$

תכונות

אוסף המטריצות האנטי-סימטריות הוא מרחב וקטורי. בפרט, הסכום של שתי מטריצות אנטי סימטריות הוא מטריצה אנטי סימטרית, וכל כפולה בסקלר של מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה אנטי סימטרית.
כאשר השדה ממאפיין שונה מ-2:
- הממד של מרחב המטריצות האנטי סימטריות הוא $n(n-1)/2$ .
- הרכיבים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי סימטרית הם כולם אפס, ובפרט העקבה שלה שווה לאפס.
הערכים העצמיים של מטריצה ממשית אנטי-סימטרית הם מספרים מרוכבים טהורים (כלומר, כפולות ממשיות של היחידה המרוכבת i).
בפרט, אם ${\textstyle A}$ היא מטריצה אנטי סימטרית ממשית ${\textstyle I+A}$ היא מטריצה הפיכה, כאשר ${\textstyle I}$ היא מטריצת היחידה.
אם ${\textstyle A}$ היא מטריצה אנטי סימטרית ${\textstyle A^{2}}$ היא מטריצה סימטרית שלילית (negative indefinite).
מעל שדה ממאפיין 2, אין הבדל בין מטריצות אנטי-סימטריות למטריצות סימטריות.

שימושים

מכפלה וקטורית

ניתן להשתמש במטריצות אנטי סימטריות של שלוש על שלוש כדי לייצג פעולת מכפלה וקטורית ככפל מטריצות. בהינתן וקטורים ${\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\top }}$ ו- ${\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\top }}$ , מוגדרת המטריצה:

[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}

ניתן לכתוב את פעולת המכפלה הווקטורית בתור

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b}

ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שני הצדדים של המשוואה הקודמת והשוואה של כל רכיב תואם של התוצאות.

הגדרת מטריצת סיבוב

בהינתן ${\vec {\phi }}$ , וקטור סיבוב, מטריצת הסיבוב $R$ המתאימה תהיה:^[4]

$R=e^{-[\phi ]_{x}}$

הכללות

ערך זה עוסק במטריצות שהן אנטי-סימטריות ביחס לפעולת השחלוף. באופן דומה מגדירים איברים אנטי-סימטריים ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות, או לכל אינוולוציה אחרת.

ראו גם

מטריצה סימטרית

לקריאה נוספת

Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 34: 1–5. doi:10.1017/S0950184300000070.

קישורים חיצוניים

עליזה מלק - קורס אלגברה לינארית - מטריצה אנטי סימטרית, סרטון בערוץ "הטכניון", באתר יוטיוב
"Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld.
Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems".
Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3): 286. doi:10.1145/355791.355799. Fortran Fortran90
מטריצה אנטי-סימטרית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ Richard A. Reyment; K. G. Jöreskog; Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences. Cambridge University Press. p. 68. ISBN 0-521-57556-7.
^ התרגום המילולי לשם Skew-Symmetric Matrix לא נמצא בשימוש בעברית.
^ Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc, Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, McGraw-Hill. ., ספטמבר 2005, עמ' 38
^ F.Landis Markley, John L Crassidis, Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control, עמ' 45