מורן לביא נולדה בכפר סבא וגדלה ברעננה. עד גיל 15 שיחקה טניס מקצועי ברמת השרון. לביא דורגה בעשירייה הראשונה בטניס נשים. לאחר שהגיעה להשיגים בולטים בטניס החליטה לפרוש לטובת הכדורגל, מכיוון שחיפשה לעסוק בספורט קבוצתי. כאשר החלה ללמוד בחטיבת "יהונתן", פגשה במאמן אשר מסינג, שחקן עבר בקבוצת הכח עמידר רמת גן, לאחר שראה את יכולות המשחק שלה הפנה אותה למאמן אלון שרייר ומאז היא משחקת כדורגל.
קריירה
לביא זכתה באליפות בתי הספר בקטרגל עם בית ספרה, תיכון "מור מטרו ווסט" רעננה. באותו העת היא שיחקה בקבוצת הפועל רעננה. ב-1998, שנה אחרי שהצטרפה לליגת הנערות בכדורגל, נפתחה ליגת הנשים הראשונה בישראל, מאז שיחקה בקבוצת אס"א תל אביב. למשך תקופה מסוימת הייתה שיאנית ההופעות בנבחרת ישראל והשחקנית הוותיקה ביותר בליגת הנשים בישראל.
בתום לימודיה, בקיץ 2006, נסעה לביא לאיסלנד שם שיחקה במשך חודשיים בקבוצה Haukar המדורגת בליגה השנייה כדי לנסות ולהעלות את הקבוצה ליגה.
לביא שיחקה ארבע עונות ברציפות במוקדמות ליגת האלופות לנשים. בעונת 2012 זכתה קבוצתה במקום הראשון במשחקי המוקדמות, שם הבקיעה לביא גול נגד קבוצה מפורטוגל. הנבחרת עלתה לאליפות והגיעה לאחת מ-32 הקבוצות הטובות באירופה, שם הפסידה לאלופת איטליה בשני המשחקים. זהו השלב הגבוה ביותר בליגה העולמית, אליו הגיעה קבוצת כדורגל לנשים ישראלית.
