לייטנר שיחק לראשונה במדי הקבוצה הבוגרת ב-14 באוגוסט 2010 כשעלה כמחליף במשחק הגביע מול SC פרל כשהוא בן 17 בלבד.
בינואר 2011 חתם לייטנר בבורוסיה דורטמונד והושאל לאאוגסבורג עד סוף העונה.
בעונה שלאחר מכן, עונת 2011/2012 שיחק מוריץ ב-22 משחקים ופתח בארבעה בלבד מהם. בעונת 2012/2013, בה הגיעה בורוסיה דורטמונד לגמר ליגת האלופות, שיחק לייטנר ב-30 משחקים.
באותו קיץ הושאל לייטנר לשנתיים בשטוטגרט, הוא כבש את שער הבכורה שלו בבונדסליגה ובקבוצה ב-1 בפברואר 2014 מול באייר לברקוזן. בתום ההשאלה חזר לבורוסיה דורטמונד.
בקיץ 2016 נמכר לייטנר ללאציו האיטלקית תמורת סכום בלתי ידוע. לייטנר שיחק בלאציו חצי עונה וערך שתי הופעות בלבד, ובינואר 2017 נמכר לאאוגסבורג תמורת שני מיליון אירו. ב-25 בינואר2018 הושאל לנוריץ' סיטי עד לסוף העונה. ב-26 ביוני 2018 חתם באופן קבוע בנוריץ' לארבע שנים.
