באלגברה, מודול יוצר (generator module) הוא מודול בו סכומי פונקציונלים מהמרחב הדואלי יוצרים את כל חוג הבסיס. מודול פרו-יוצר (progenerator module) הוא מודל יוצר, פרויקטיבי ונוצר סופית. למודולים המקיימים תכונות אלו תפקיד מבני בתורת המודולים, והם מהווים עזר באפיון מושגים שונים באלגברה: בעזרתם ניתן לאפיין באופן מבני את שקילות מוריטה; הם מהווים חלק מהגדרת איברים טריוויאליים בחבורת בראואר של חוגים.

יהי ${\displaystyle R}$ חוג, ויהי ${\displaystyle P}$ מודול מעל החוג. נסמן ב-${\displaystyle P^{*}}$ את ההמרחב הדואלי של ${\displaystyle P}$, כלומר אוסף ההומומורפיזם מהמודול אל חוג הבסיס. אידיאל העקבה (trace ideal) של ${\displaystyle P}$ מוגדר כך:

כלומר, הוא מכיל סכומי פעולות של פונקציונלים על החוג. בדיקה ישירה מראה שזהו אכן אידיאל דו צדדי של ${\displaystyle R}$ (נובע בין השאר מכך ש-${\displaystyle P^{*}}$ מודול ימני מעל ${\displaystyle R}$). המודול ${\displaystyle P}$ נקרא יוצר יוצר אם אידיאל זה שווה לכל החוג: ${\displaystyle \operatorname {tr} (P)=R}$ (או בשקילות, ${\displaystyle 1\in \operatorname {tr} (P)}$). המודול נקרא פרו-יוצר אם הוא בנוסף פרויקטיבי ונוצר סופית מעל ${\displaystyle R}$.

להלן מספר תכונות שקולות להיותו של מודול יוצר:

1. הפונקטור ${\displaystyle P\mapsto \operatorname {Hom} _{R}(P,-)}$ הוא נאמן. בפרט, נובע שהתכונה ניתנת לאפיון באופן קטגורי, ולכן נשמרת בין אובייקטים שקולים קטגורית.
2. ${\displaystyle R}$ הוא מחובר ישר ב-${\displaystyle P^{n}}$.
3. ${\displaystyle R}$ הוא מחובר ישר ב-${\displaystyle \oplus P}$.
4. כל ${\displaystyle R}$-מודול הוא תמונה של ב-${\displaystyle \oplus P}$.

אזומיה הוכיח כי מודול מעל חוג קומוטטיבי שהוא פרויקטיבי ונוצר סופית הוא יוצר (ולכן פרו-יוצר) אם ורק אם הוא נאמן. בפרט, נובע כי כאשר חוג הבסיס קומוטטיבי ואין לא אידמפוטנטים פרט ל-0 ו-1, כל מודול פרויקטיבי ונוצר סופית הוא פרו-יוצר. בנוסף, עבור מודול פרויקטיבי ונוצר סופית מתקיים ${\displaystyle \operatorname {tr} (P)\oplus \operatorname {Ann} (P)=R}$, כאשר ${\displaystyle \operatorname {Ann} }$ הוא המאפס של המודול.

ערך מורחב – שקילות מוריטה

למודולים יוצרים ישנו קשר חשוב לשקילות מוריטה של חוגים - שני חוגים הם שקולים מוריטה אם ורק אם יש שקילות קטגורית בין המודולים הימניים שלהם. מסתבר שתנאי זה שקול לתנאי מבני על החוגים - משפטי מוריטה קובעים כי חוגים הם שקולים מוריטה אם ורק אם אחד מהם הוא חוג אנדומורפיזמים מעל מודול פרו-יוצר של השני. שקילות זו מוכחת על ידי בניית Morita context לכל מודול פרו-יוצר.

• שקילות מוריטה