לשמוע את צורת התוף, במתמטיקה ופיזיקה, פירושו להפיק מידע על הצורה של תוף מהקול שהוא מפיק, כלומר מרשימת הצלילים העיליים שלו, באמצעות תאוריה מתמטית. "האם ניתן לשמוע את צורת התוף?" היה הכותרת של מאמר של מארק כץ (Mark Kac) מ-1966, שנתן תמריץ חזק לפיתוח התורה הספקטרלית. ניתן להתחקות אחורנית אחר שורשי הרעיונות של השאלות האלה עד לעבודתו של המתמטיקאי הרמן וייל. כיוון שמאמרו של כץ הפך את השאלה למפורסמת, הוענקו לו כהוקרה מספר פרסים.

התדירויות שבהן ממברנת התוף יכולה לרטוט תלויות בצורה שלה. משוואת הלמהולץ מאפשרת לחשב את התדירויות אם הצורה של התוף נתונה. התדירויות הללו הן הערכים העצמיים של הלפלסיאן במרחב. הבעיה המרכזית היא האם ניתן לחזות את הצורה של התוף אם התדירויות שהוא מפיק ידועות. לשם הדוגמה, אף צורה אחרת מהריבוע אינה רוטטת באותן תדירויות כמו אותו ריבוע. לפיכך השאלה מבקשת לדעת אם קיימות שתי צורות תוף שונות להן אותו אוסף תדירויות.

באופן פורמלי יותר, ניתן להמשיג את התוף לממברנה אלסטית אשר השפה שלה מקובעת. ממברנה זו מיוצגת על ידי תחום ${\displaystyle D}$ במישור. נסמן ב-${\displaystyle \lambda _{n}}$ את הערך העצמי ה-${\displaystyle n}$ של הלפלסיאן ב-${\displaystyle D}$, המתקבל מפתרון המשוואה:

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\\u|_{\partial D}=0\end{cases}}}$

כלומר הערכים העצמיים של אופרטור הלפלסיאן (תחת תנאי שפה מסוג דיריכלה) הם אלו עבורם קיימות פונקציות עצמיות ${\displaystyle u_{n}}$ שמתאפסות על השפה של ${\displaystyle D}$ ואשר פעולת הלפלסיאן עליהן מכפילה אותן בקבוע שהוא אחד מאוסף הערכים הללו. שני תחומים ייקראו "איזוספקטרליים" אם יש להם בדיוק אותם ערכים עצמיים. השם "איזוספקטרליים" מוצדק משום שהערכים העצמיים של הלפלסיאן קשורים בדיוק לאותם הצליליים שהתוף מסוגל להפיק; תחומים איזוספקטרליים מפיקים אותו ספקטרום של צלילים. הערך העצמי ${\displaystyle \lambda _{n}}$ שווה לריבוע של התדירות של הגל העומד ה-${\displaystyle n}$ שמתקיים על הממברנה, ולפיכך התדירויות היסודיות בהן נקודה מסוימת על התוף מתנודדת קשורות בקשר ישיר לערכים העצמיים.

לפיכך השאלה ניתנת לניסוח מחדש כך: מה ניתן לדעת על ${\displaystyle D}$ אם יודעים רק את הערכים של ${\displaystyle \lambda _{n}}$? או, באופן יותר ספציפי, האם קיימים שני תחומים שונים שהם איזוספקטרליים?

כמעט מיידית, ג'ון מילנור הראה שממשפט של ארנסט ויט נובע קיומם של שני טורוסים 16-ממדיים שיש להם אותם ערכים עצמיים אולם צורות שונות. עם זאת, הבעיה בשני ממדים נותרה פתוחה עד 1992, כאשר המתמטיקאים גורדון, ווב, ו-וולפרט, בנו בהתבסס על שיטת Sunada, זוג של תחומים במישור שיש להם צורות שונות אך ערכים עצמיים זהים. התחומים הללו הם מצולעים לא-קמורים. ההוכחה שלשני התחומים יש אותם ערכים עצמיים מתבססת על הסימטריות של הלפלסיאן. הרעיון הזה הוכלל על ידי Buser et al, שבנה מספר דוגמאות דומות. לכן, התשובה לשאלתו של כץ היא שקיימות צורות צורות עבורן לא ניתן לשמוע את צורת התוף באופן מושלם.

מצד שני, Steve Zelditch הוכיח שהתשובה לשאלה של כץ חיובית אם מגבילים את השאלה לתחומים מישוריים קמורים עם שפה אנליטית.

אף על פי שהתשובה השלילית לשאלה מראה כי לא ניתן לקבוע באופן חד-חד ערכי את צורת התוף מהצלילים שהוא משמיע, חוק וייל קובע שעדיין ניתן להסיק את הנפח V של התוף, וזאת באמצעות ספירה כמה מהר הערכים העצמיים λ_n גדלים. אם נגדיר את (N(R כמספר הערכים העצמיים הקטנים יותר מ-R , אז חוק וייל קובע שבאופן אסימפטוטי:

${\displaystyle V=(2\pi )^{d}\lim _{R\to \infty }{\frac {N(R)}{R^{d/2}}}\,}$

כאשר d הוא הממד. וייל שיער גם שהאיבר הבא בקירוב האסימפטוטי ייתן את ההיקף של התחום D. במילים אחרות, אם A מסמל את אורך ההיקף (או שטח הפנים של התוף בממדים גבוהים יותר), אז וייל שיער ש-:

${\displaystyle \,\lim _{R\to \infty }(N(R))=(2\pi )^{-d}\omega _{d}VR^{d/2}+{\frac {1}{4}}(2\pi )^{-d+1}\omega _{d-1}AR^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}).\,}$

כאשר ${\displaystyle \omega _{d}}$ הוא הנפח של כדור היחידה ה-d ממדי.

עבור גבול שאינו חלק, מייקל ברי הניח בשנת 1979 כי התיקון צריך להיות בסדר גודל של

${\displaystyle R^{D/2}\,}$

כאשר D הוא ממד האוסדורף של הגבול.

זה הופרך על ידי ג'יי ברוסארד ור' א' כרמונה, שהציעו אז להחליף את מימד האוסדורף במימד מינקובסקי. זה הוכח אם לגבול יש ממד 1 (1993), אך מופרך לממדים גבוהים יותר (1996); שתי התוצאות הן של לפידוס וקרל פומרנס.

• ספקטרום (מתמטיקה)

• לשמוע את צורת התוף, באתר MathWorld (באנגלית)