באופטימיזציה קמורה, למת הנגישות קובעת שכל הנקודות בקטע המחבר נקודה פנימית ונקודת שפה של קבוצה קמורה, למעט נקודת השפה, הן נקודות פנימיות.

הלמה חשובה מכיוון שהיא משמשת להוכחת משפט התמיכה – משפט שעוזר להגיע לתוצאות מרכזיות בתחום, כמו משפט קרוש-קון-טאקר.

תהי ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ קבוצה קמורה עם פנים ושפה לא ריקים.

יהיו ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in \Omega ^{\circ }}$ ו- ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}\in \partial \Omega }$, כאשר ${\displaystyle \Omega ^{\circ }}$ ו-${\displaystyle \partial \Omega }$ הם הפנים והשפה של ${\displaystyle \Omega }$, בהתאמה.

אז ה"קו החצי פתוח" מ-${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ל- ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$ ${\displaystyle [{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=\{\lambda {\boldsymbol {x}}+(1-\lambda ){\boldsymbol {y}}\ |\ 0<\lambda \leq 1\}}$ מכיל אך ורק נקודות פנימיות.

נקבע נקודה ${\displaystyle {\boldsymbol {z_{0}}}=\lambda _{0}{\boldsymbol {x}}+(1-\lambda _{0}){\boldsymbol {y}}}$ מהקטע ${\displaystyle [{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})}$. נניח ${\displaystyle \lambda _{0}\neq 1}$ כי אחרת ${\displaystyle {\boldsymbol {z_{0}}}={\boldsymbol {x}}}$ וברור שהנקודה בפנים של ${\displaystyle \Omega }$.

נתון ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in \Omega ^{\circ }}$ ולכן קיים ${\displaystyle r_{0}>0}$ המקיים ${\displaystyle B({\boldsymbol {x}},r_{0})\subset \Omega ^{\circ }}$.

נגדיר ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ כך:

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {w}})={\frac {1}{1-\lambda _{0}}}[{\boldsymbol {z_{0}}}-\lambda _{0}{\boldsymbol {w}}]}$

נשים לב לשתי תכונות של ${\displaystyle \varphi }$:

1. ${\displaystyle \lVert \varphi ({\boldsymbol {w}})-\varphi ({\boldsymbol {x}})\rVert ={\frac {\lambda _{0}}{1-\lambda _{0}}}\lVert {\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {x}}\rVert }$
2. ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {y}}}$

מהתכונות הנ"ל נסיק ש${\displaystyle \varphi }$ יוצרת קשר חח"ע ועל בין ${\displaystyle B({\boldsymbol {x}},r_{0})}$ לבין ${\displaystyle B({\boldsymbol {y}},{\frac {\lambda _{0}}{1-\lambda _{0}}}r_{0})}$.

נתון ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}\in {\bar {\Omega }}}$ ולכן הכדור ${\displaystyle B({\boldsymbol {y}},{\frac {\lambda _{0}}{1-\lambda _{0}}}r_{0})}$ נחתך עם ${\displaystyle \Omega }$.

יהי ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in B({\boldsymbol {x}},r_{0})}$ כך ש${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {w}})\in \Omega \cap B({\boldsymbol {y}},{\frac {\lambda _{0}}{1-\lambda _{0}}}r_{0})}$.

נשים לב ש${\displaystyle {\boldsymbol {z_{0}}}=\lambda _{0}{\boldsymbol {w}}+(1-\lambda _{0})\varphi ({\boldsymbol {w}})}$.

נגדיר ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {u}})=\lambda _{0}{\boldsymbol {u}}+(1-\lambda _{0})\varphi ({\boldsymbol {w}})}$

נשים לב ש:

1. ${\displaystyle \lVert \psi ({\boldsymbol {u}})-\psi ({\boldsymbol {w}})\rVert =\lambda _{0}\lVert {\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {w}}\rVert }$
2. ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {w}})={\boldsymbol {z_{0}}}}$

מאחר ש${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in B({\boldsymbol {x}},r_{0})}$ אז קיים ${\displaystyle r_{1}>0}$ כך ש${\displaystyle B({\boldsymbol {w}},r_{1})\subset B({\boldsymbol {x}},r_{0})\subset \Omega }$.

כמו קודם, ${\displaystyle \psi }$ יוצרת קשר חח"ע ועל בין ${\displaystyle B({\boldsymbol {w}},r_{1})}$ לבין ${\displaystyle B({\boldsymbol {z_{0}}},\lambda _{0}r_{1})}$.

אבל אם ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in B({\boldsymbol {w}},r_{1})}$ אז ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {u}})\in \Omega }$ (כי ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in \Omega }$ וגם ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {w}})\in \Omega }$ ו- ${\displaystyle 0<\lambda _{0}<1}$).

כלומר ${\displaystyle B({\boldsymbol {z_{0}}},\lambda _{0}r_{1})\subset \Omega }$ שזה גורר ${\displaystyle {\boldsymbol {z_{0}}}\in \Omega ^{\circ }}$.