פאולסן הוא בן לאב ממוצא טנזני ואם ממוצא דני. אביו היה נווד באוניות, שעגן באחת מעצירותיו בדנמרק, והתאהב באישה מקומית שהייתה לאמו של יוסוף פאולסן. האב נפטר מסרטן כאשר פאולסן היה בן שש.
קריירת מועדונים
פאולסן החל את קריירת הנוער במועדון הדני ב.ק. סקיולד, ושיחק תחילה כקשר הגנתי, כאשר חברו לקבוצה ולנבחרת דנמרק הצעירה קנת זוהורה תופקד כחלוץ. עם עזיבתו של זוהורה לפ.צ. קופנהגן, עבר פאולסן לשחק בעמדת החלוץ, ולאחר מכן עבר למועדון הדני לינגבי בולדקלוב. פאולסן לא הצליח להתאקלם מיד בלינגבי, וערך רק חמש הופעות בעונת 2011/12, שבסיומה ירדה הקבוצה לליגה הדנית השנייה. בעונת 2012/13 הפך פאולסן לשחקן קבוע במועדון, והבקיע 11 שערים, אך לא הצליח לחזור עמו לליגת העל הדנית.
הצלחתו של פאולסן בלינגבי עוררה עניין במועדונים רבים, והוא חתם בקיץ 2013 בר.ב. לייפציג, מועדון שנבנה באותה תקופה וגייס לשורותיו כישרונות צעירים. ר.ב. לייפציג שיחקה בליגה הגרמנית השלישית בעונת 2013/14, ופאולסן העפיל עם המועדון אל הבונדסליגה השנייה, כשהוא מבקיע עשרה שערי ליגה. בעונת 2014/15 פאולסן ולייפציג כשלו להעפיל אל הבונדסליגה כשסיימו במקום החמישי, למרות 11 שערים של פאולסן. בעונת 2015/16 הצליחו פאולסן ולייפציג להעפיל לראשונה בהיסטוריה לבונדסליגה כאשר סיימו במקום השני בבונדסליגה השנייה אחרי פרייבורג. פאולסן הבקיע בעונה זו שבעה שערים, כשהוא משתף פעולה בהתקפה עם מרסל זביצר, דייבי זלקה, אמיל פורסברג ודומיניק קייזר. במחזור השישי של עונת 2016/17 הבקיע פאולסן את שער הבכורה שלו בבונדסליגה, שהיה שער ניצחון ב-1–2 על אאוגסבורג.
קריירה בינלאומית
פאולסן שיחק בכל הנבחרות הצעירות של דנמרק, ובאוקטובר 2014 ערך את הופעת הבכורה בנבחרת דנמרק הבוגרת, במשחק מול נבחרת אלבניה. במוקדמות יורו 2016 הבקיע פאולסן שני שערים, אך נבחרת דנמרק לא הצליחה להעפיל ליורו 2016 עצמו.
בשנת 2018 פאולסן זומן לסגל של דנמרק למונדיאל 2018. במשחק הראשון של דנמרק בשלב הבתים מול נבחרת פרו, בו ניצחה דנמרק 0–1, גרם פאולסן פנדל, אותו החמיץ כריסטיאן קואבה. בהמשך המשחק, הבקיע פאולסן את שער הניצחון. במשחק מול נבחרת אוסטרליה, שהסתיים בתיקו 1-1, גרם פאולסן פנדל נוסף, אותו הבקיע מילה ידינאק. שני הפנדלים שגרם פאולסן נשרקו לאחר התערבות של עוזר שופט וידאו. פאולסן ודנמרק עלו לבסוף לשמינית הגמר, שם הפסידו לנבחרת קרואטיה בפנדלים והודחו מהמונדיאל.