בתורת האמידה ובסטטיסטיקה, חסם צ'פמן-רובינס (Chapman-Robbins Bound; לעיתים חסם המרסלי-צ'פמן-רובינס) הוא חסם תחתון על השונות של אומדים של פרמטרים דטרמיניסטיים. חסם זה הוא הכללה של חסם קרמר-ראו, ובהשוואה אליו - הוא הדוק יותר ומתאים למגוון רחב יותר של בעיות. עם זאת, חישובו לרוב מסובך יותר.

החסם נגזר לראשונה ובאופן בלתי-תלוי על ידי ג'ון המרסלי ב-1950 ועל ידי דאגלס צ'פמן והרברט רובינס ב-1951. זהו מקרה פרטי של חסם ברנקין (Barankin) המורכב יותר.

יהי ${\displaystyle \ \theta }$ פרמטר דטרמיניסטי לא-ידוע, ויהיה ${\displaystyle \ T(X)}$ אומד של פונקציה כלשהי של הפרמטר, ${\displaystyle \ \psi (\theta )}$. יהי ${\displaystyle \ p(x;\theta )}$. הפילוג של ${\displaystyle \ X}$ (שתלוי ב-${\displaystyle \ \theta }$), ונניח כי הוא מוגדר היטב וחיובי לכל ${\displaystyle \ x}$ ולכל ${\displaystyle \ \theta }$.

אם ${\displaystyle \ T(X)}$ הוא אומד חסר-הטיה של ${\displaystyle \ \psi (\theta )}$, כלומר:

${\displaystyle \ \mathrm {E} \left[T(X)\right]=\psi (\theta )\,\,\forall \theta }$

אז לפי חסם צ'פמן-רובינס:

${\displaystyle \ Var(T(X))\geq \sup _{h}{\frac {\left[\psi (\theta +h)-\psi (\theta )\right]^{2}}{E\left[{\tfrac {p(x;\theta +h)}{p(x;\theta )}}-1\right]^{2}}}}$.

למעשה, אי השוויון (ללא הוצאת הסופרמום) מתקיים לכל ${\displaystyle \ h}$, ולכן החסם ההדוק ביותר הוא כאשר הביטוי מקבל את הסופרמום שלו לפי ${\displaystyle \ h}$. התנאי לקיומו של החסם הוא שהתומך של ${\displaystyle \ p(x;\theta +h)}$ יהיה מוכל בתומך של ${\displaystyle \ p(x;\theta )}$.

חסם צ'פמן-רובינס (הביטוי ללא הסופרמום) מתכנס לחסם קרמר-ראו כאשר ${\displaystyle \ h\to 0}$, בהנחה שהתנאים הרגולריים הדרושים מתקיימים (ראו בערך). מתוך כך, חסם צ'פמן-רובינס הוא תמיד הדוק לכל הפחות כמו קרמר-ראו. יתר על-כן, חסם צ'פמן-רובינס קיים תחת תנאים רגולריים חלשים משמעותית מאלו של חסם קרמר-ראו. כך למשל, להוכחת החסם לא נדרש כי הפילוג ${\displaystyle \ p(x;\theta )}$ יהיה גזיר. במקרים כאלו, האינפורמציה של פישר לא מוגדרת, ולכן חסם קרמר-ראו לא קיים.

${\displaystyle \ T(X)}$ הוא משערך חסר-הטיה, ולכן מתקיים:

${\displaystyle \ \int T(x)\cdot p(x;\theta )\,dx=\psi (\theta )}$

${\displaystyle \ \int T(x)\cdot p(x;\theta +h)\,dx=\psi (\theta +h)}$

חיסור המשוואות:

${\displaystyle \ \int T(x)\cdot (p(x;\theta +h)-p(x;\theta ))\,dx=\psi (\theta +h)-\psi (\theta )}$

בנוסף מתקיים:

${\displaystyle \ \int \psi (\theta )\cdot (p(x;\theta +h)-p(x;\theta ))\,dx=\psi (\theta )\cdot \int (p(x;\theta +h)-p(x;\theta ))\,dx=\psi (\theta )\cdot (1-1)=0}$

נחסיר בין שתי המשוואות האחרונות, לקבלת:

${\displaystyle \ \int (T(x)-\psi (\theta ))\cdot {\frac {p(x;\theta +h)-p(x;\theta )}{p(x;\theta )}}\cdot p(x;\theta )\,dx=\psi (\theta +h)-\psi (\theta )}$

כלומר:

${\displaystyle \ \mathrm {E} \left[(T(X)-\psi (\theta ))\cdot ({\frac {p(x;\theta +h)}{p(x;\theta )}}-1)\right]=\psi (\theta +h)-\psi (\theta )}$

העלאת המשוואה בריבוע ואי-שוויון קושי-שוורץ יניבו:

${\displaystyle \ (\psi (\theta +h)-\psi (\theta ))^{2}=\mathrm {E} \left[(T(X)-\psi (\theta ))\cdot ({\frac {p(x;\theta +h)}{p(x;\theta )}}-1)\right]^{2}\leq \mathrm {E} \left[(T(X)-\psi (\theta ))^{2}\right]\cdot \mathrm {E} \left[({\frac {p(x;\theta +h)}{p(x;\theta )}}-1)^{2}\right]}$

ומכאן:

${\displaystyle \ Var(T(X))\geq {\frac {\left[\psi (\theta +h)-\psi (\theta )\right]^{2}}{({\tfrac {p(x;\theta +h)}{p(x;\theta )}}-1)^{2}}}}$

שזהו החסם המבוקש.

• חסם קרמר-ראו
• תורת האמידה