בתורת החוגים, ענף של המתמטיקה, חוג אפס^{[1][2][3][4][5]} או החוג הטריוויאלי הוא החוג היחיד (עד איזומורפיזם) המורכב מאיבר אחד. (המונח "חוג אפס" מתייחס גם לכל חוג בלי יחידה שריבועו אפס, כלומר, חוג ללא יחידה שבו xy = 0 לכל x ו-y. עמוד זה מתייחס לחוג האיבר היחיד.)

בקטגוריית החוגים בלי יחידה, חוג האפס היא האובייקט הסופי ואילו חוג המספרים השלמים Z היא האובייקט ההתחלתי.

חוג האפס, שמסומן {0} או פשוט 0, מורכב מהיחידון {0} עם הפעולות + ו · המוגדרות כך ש-0 + 0 = 0 ו-0 · 0 = 0.

• חוג האפס הוא החוג היחיד בו היחידה החיבורית 0 והיחידה הכפלית 1 שוות.^[1][6] (הוכחה: אם 1 = 0 בחוג R, אז לכל r ב-R, יש לנו ${\displaystyle r=r\cdot 1=r\cdot 0=0}$.)
• האיבר 0 בחוג האפס הוא הזהות המשמש כמספר הופכי של עצמו.
• קבוצת האיברים ההפיכים של חוג האפס היא הקבוצה הטריוויאלית {0}.
• האיבר 0 בחוג האפס אינו מחלק אפס.
• האידיאל היחיד בחוג האפס הוא אידיאל האפס {0}, שהוא גם האידיאל היחיד, השווה לכל החוג. אידיאל זה אינו מקסימלי ואינו ראשוני.
• חוג האפס אינו שדה ; זה תואם את העובדה שאידיאל האפס שלו אינו מקסימלי. למעשה, אין שדה עם פחות מ-2 איברים.
• חוג האפס אינו תחום שלמות.^[7] אם חוג האפס נחשב בכלל לתחום הוא עניין של מוסכמה, אך ישנם שני יתרונות לא לשקול אותו כתחום. ראשית, זה תואם את ההגדרה שתחום הוא חוג שבו 0 הוא מחלק האפס היחיד (בפרט, 0 נדרש להיות מחלק אפס, שנכשל בחוג האפס). שנית, בדרך זו, עבור מספר שלם חיובי n, החוג Z / n Z (או Z _n, שהיא איזומורפית ל-Z / n Z) היא תחום אם ורק אם n הוא ראשוני, אך 1 אינו ראשוני.
• לכל חוג A קיים הומומורפיזם יחיד (של חוגים) מ-A לחוג האפס. לפיכך חוג האפס היא אובייקט סופי בקטגוריית החוגים.^[8]
• אם A הוא חוג שאינו אפסי, אז אין הומומורפיזם (של חוגים) מחוג האפס ל-A. בפרט, חוג האפס אינו תת-חוג של אף חוג שאינו אפסי.^[8]
• חוג האפס הוא החוג היחיד בעל מאפיין 1.
• המודול היחיד לחוג האפס הוא מודול האפס.
• חוג האפס אינה חוג מקומי. זוהי, עם זאת, חוג מקומי למחצה.
• חוג האפס היא ארטיני (ולכן) נתרי.
• הספקטרום של חוג האפס הוא הסכמה הריקה.^[8]
• הממד קרול של חוג האפס הוא – ∞.
• חוג האפס היא פשוטה למחצה אך לא פשוטה.
• חוג האפס אינו אלגברה פשוטה מרכזית מעל שום שדה.

• עבור כל חוג A ואידיאל I של A, המנה A / I היא חוג אפס אם ורק אם I = A, כלומר אם ורק אם I האידיאל יחידה.
• עבור כל חוג חילופי A וקבוצת כפל S ב-A, הלוקליזציה S ^-1 A היא חוג האפס אם ורק אם S מכיל 0.
• אם A היא חוג כלשהי, הרי החוג ${\displaystyle M_{0}(A)}$ של 0 × 0 מטריצות מעל A היא חוג האפס.
• המכפלה הישירה של אוסף חוגים ריק היא חוג האפס.
• חוג האנדומורפיזמים של הקבוצה הטריוויאלית היא חוג האפס.
• חוג הפונקציות האמיתיות הרציפות על מרחב טופולוגי ריק היא חוג האפס.

• מייקל ארטין, אלגברה, פרנטיס-הול, 1991.
• זיגפריד בוש, גאומטריה אלגברית ואלגברה קומוטטיבית, ספרינגר, 2012.
• מייקל עטיה ו-IG Macdonald, מבוא לאלגברה קומוטטיבית, אדיסון-ווסלי, 1969.
• ניקולא בורבאקי, אלגברה I, פרקים 1–3.
• רובין הרטשורן, גאומטריה אלגברית, ספרינגר, 1977.
• TY Lam, תרגילים בתורת הטבעות הקלאסית, ספרינגר, 2003.
• סרג' לאנג, אלגברה מהדורה שלישית, ספרינגר, 2002.

• חוג האפס, באתר MathWorld (באנגלית)