בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

זהות ויינשטיין-ארונסיין שידועה גם כזהות הדטרמיננטה של סילבסטר קובעת שאם ${\displaystyle A\in M_{m\times n}(F)}$ היא מטריצה עם m שורות ו-n עמודות, ו-${\displaystyle B\in M_{n\times m}(F)}$ היא מטריצה עם n שורות ו-m עמודות, אזי הדטרמיננטה מקיימת $${\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA)}$$ כאשר ${\displaystyle I_{k}}$ היא מטריצת היחידה מסדר k.

נוסחה זו שימושית כאשר n הוא מספר גדול ו-m קטן משמעותית ממנו, ורוצים לחשב דטרמיננטות מהסוג הנ"ל במחשב, שכן הסיבוכיות של חישוב נומרי של דטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר k הוא ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k^{3})}$.

נשים לב, שלפי כללי דטרמיננטה של מטריצת בלוקים: $${\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}}$$ אבל את מטריצת הבלוקים אפשר לכתוב כמכפלת מטריצות: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{m}&A\\0&I_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{bmatrix}}=X\cdot Y}$$ כעת נעזר בכפליות הדטרמיננטה: $${\displaystyle \det(XY)=\det(X)\det(Y)=\det(Y)\det(X)=\det(YX)}$$ ברם, $${\displaystyle YX={\begin{bmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{m}&A\\0&I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}}$$ אבל שוב מחישוב דטרמיננטה של מטריצת בלוקים נקבל $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}=\det(I_{n}+BA)}$$

ואם נסכם הכל:$${\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}=\det(I_{n}+BA)}$$

מש"ל.

• Sylvester's Determinant Identity, סרטון בערוץ "Michael Penn", באתר יוטיוב (אורך: 11:23)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.