במתמטיקה ובעיבוד אותות, התמרת הילברט היא אופרטור ליניארי, שלוקח פונקציה ${\displaystyle u(t)}$, ומייצר פונקציה ${\displaystyle H{(u)(t)}}$, עם אותו התחום.

בשונה מהתמרות אחרות כדוגמת התמרת Z, התמרת פורייה, אשר מעבירות פונקציות בין מרחבים, התמרת הילברט לוקחת פונקציה במרחב הזמן, ומשאירה אותה במרחב הזמן, כאשר במרחב התדר הפונקציה החדשה מוסטת בפאזה של ${\displaystyle 90^{\circ }}$.

התמרת הילברט קרויה על שם דויד הילברט, שהיה הראשון אשר הציג את האופרטור לפתרון המקרה המיוחד של בעיית רימן-הילברט עבור פונקציה הולומורפית.

התמרת הילברט של פונקציה ${\displaystyle u(t)}$ היא קונבולוציה של הפונקציה ${\displaystyle u(t)}$ עם הפונקציה ${\displaystyle h(t)=1/(\pi t)}$.

ההתמרה מחושבת בצורה הבאה: 

${\displaystyle {\widehat {u}}(t)=H(u)(t)=\operatorname {\int } _{-\infty }^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\ \operatorname {\int } _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau }$

כאשר מבצעים התמרת הילברט פעמיים ברצף לפונקציה ${\displaystyle u}$, התוצאה היא ${\displaystyle u}$ שלילית:

${\displaystyle H(H(u))(t)=-u(t)}$

מכאן התמרת הילברט ההפוכה היא: ${\displaystyle H^{-1}=-H}$

במישור התדר, התמרת הילברט היא: ${\displaystyle H(f)=-j\cdot sign(f)}$, כאשר ${\displaystyle sign(f)}$ היא פוקנציית הסימן.

מכאן ניתן לראות ש-${\displaystyle |H(f)|=1}$, כלומר התמרת הילברט משנה רק את הפאזה של האות, היא מסובבת את הפאזה של רכיבי התדר החיוביים ב-${\displaystyle -90^{\circ }}$ ואת הפאזה של רכיבי התדר השליליים ב-${\displaystyle 90^{\circ }}$.

לכן האות במישור התדר לאחר התמרת הילברט הוא: ${\displaystyle {\widehat {U}}(f)=H(f)U(f)=-j\cdot sign(f)\cdot U(f)}$, כאשר ${\displaystyle U(f)}$ ו-${\displaystyle {\widehat {U}}(f)}$ הן ההתמרות פורייה של ${\displaystyle u(t)}$ ו-${\displaystyle {\widehat {u}}(t)}$ בהתאמה.

בעיבוד אותות, התמרת הילברט של ${\displaystyle u(t)}$ מסומנת ע"י: ${\displaystyle {\widehat {u}}(t)}$. במתמטיקה, הסימון הנפוץ הוא ${\displaystyle {\tilde {u}}(t)}$.

האות ${\displaystyle u(t)\,}$	התמרת הילברט ${\displaystyle H(u)(t)}$
${\displaystyle \sin(t)}$	${\displaystyle -\cos(t)}$
${\displaystyle \cos(t)}$	${\displaystyle \sin(t)\,}$
${\displaystyle \exp \left(it\right)}$	${\displaystyle -i\exp \left(it\right)}$
${\displaystyle \exp \left(-it\right)}$	${\displaystyle i\exp \left(-it\right)}$
${\displaystyle 1 \over t^{2}+1}$	${\displaystyle t \over t^{2}+1}$
${\displaystyle e^{-t^{2}}}$	${\displaystyle 2\pi ^{-1/2}F(t)}$
פונקציית Sinc ${\displaystyle \sin(t) \over t}$	${\displaystyle 1-\cos(t) \over t}$
פונקציית המלבן ${\displaystyle \sqcap (t)}$	${\displaystyle {1 \over \pi }\log \left|{t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right|}$
פונקציית דלתא של דיראק ${\displaystyle \delta (t)\,}$	${\displaystyle {1 \over \pi t}}$

• התמרת פורייה
• התמרת Z

מדיה וקבצים בנושא התמרת הילברט בוויקישיתוף

• התמרת הילברט, באתר MathWorld (באנגלית)