דינמיקה של אופניים ואופנועים היא מדע התנועה של אופניים, אופנועים והמכלולים שלהם, בהשפעת הכוחות הפועלים עליהם, אשר מהווים חלק מן המכניקה הקלאסית. תנועת אופניים ואופנועים נוגעת לאיזון, היגוי, בלימה, האצה, פעילות מתלים ובולמי זעזועים, ורטט. חקר התנועות הללו החל בסוף המאה ה-19 ונמשך גם כיום.

אופניים ואופנועים הם כלי רכב דו גלגלי-טורי (Single-track vehicle), ולכן לתנועותיהם יש תכונות בסיסיות רבות משותפות, השונות מהותית וקשות יותר למחקר מכלי רכב אחרים, לרבות כלי רכב דו גלגלי-מקביל (parallel-track vehicle) כגון סאגווי, וכלי רכב בעלי שלושה וארבעה גלגלים. בדומה לחד-אופן, אין להם יציבות רוחבית כשהם נייחים, ובדרך כלל יכולים להישאר עומדים במצב זקוף רק כאשר הם נעים קדימה. ניסויים וניתוח מתמטי הוכיחו כי אופניים ואופנועים נשארים זקופים כאשר מרכז הכובד שלהם ממוקם מעל הגלגלים. מצב כזה נוצר בדרך כלל על ידי הרוכב, ומושפע מהמבנה הגאומטרי, התפלגות המסה והאפקט הגירוסקופי של הכלי.

בעוד השמירה על שווי משקל הוא הקושי העיקרי עבור רוכבים מתחילים, הרי שאופניים ואופנועים חייבים לנטות על מנת לשמור על שיווי משקל בעת פנייה. ככל שהמהירות שלהם גבוהה יותר או רדיוס הפניה קטן יותר, כך נדרש שיעור הטיה גדול יותר, וזאת על מנת לאזן את מומנט הגלגול שנוצר בנקודות המגע של הגלגל עם הכביש בהשפעת הכוח הצנטריפוגלי הנוצר בסיבוב במשולב עם זה של כוח הכבידה. יצירת ההטייה מתבצעת בדרך כלל באמצעות פעולה רגעית המכונה היגוי נגדי. על מנת לבצע את פעולת ההיגוי הנגדי והרכינה נדרש לרכוש מיומנות באמצעות תרגול של למידה מוטורית עד שתהפוך לזיכרון ניהולי ללא מחשבה מודעת. בניגוד לכלי רכב אחרים עם גלגלים, עיקר השליטה באופניים ואופנועים מתבצע באמצעות מומנט ההיגוי .

אופניים ואופנועים הם בעלי יציבות בציר האורך שלהם אך גם בעלי מרכז כובד גבוה יחסית ובסיס גלגלים קצר יחסית המאפשר להרים גלגל מן הקרקע בהאצה או האטה. בעת בלימה חזקה, וכתלות במיקום מרכז הכובד המשולב של האופניים והרוכב ביחס לנקודה שבה הגלגל הקדמי נוגע בכביש, ואם הבלם הקדמי מופעל חזק מספיק, האופניים יכולים לאבד אחיזה או להתהפך מעל הגלגל הקדמי. מצב דומה אפשרי בזמן האצה חזקה, אבל ביחס לגלגל האחורי.

חקר הדינמיקה של אופניים ואופנועים החל במקביל להמצאת כלי הרכב עצמו. כבר בתחילת הדרך הוכיחו חוקרים כגון ויליאם ג'ון מקורן רנקין כי רוכב יכול לאזן את עצמו באמצעות היגוי הגלגל הקדמי, ושמירה על שיווי המשקל על ידי היגוי לכיוון ההטייה. לקראת סוף המאה ה-19, הוכיחו אחרים באמצעות דינמיקה של גוף קשיח כי אופניים ואופנועים יכולים למעשה לאזן את עצמם אם הם נעים במהירות הנכונה. מחקרים מודרניים שבוצעו החל משנות ה-70 הוכיחו כי האפקט הגירוסקופי אינו נדרש לשם איזון הכלי. אוניברסיטאות שונות וחברות יצור של אופניים ואופנועים מימנו מחקרים מעמיקים הכוללים ניסויים ותמרונים מעשיים לניתוח הדינמיקה של התנועה, ההטיה, הבלימה, וההתהפכות של כלי הרכב הדו גלגליים. המחקרים המדעיים בנושא נמשכו גם לתוך שנות האלפיים וכללו פרסומים של משוואות תנועה ליניאריות. בשנת 2013 זכתה חברה בבעלותו של הרוכב האגדי אדי מרקס במענק מחקר בסך 150 אלף יורו בשיתוף אוניברסיטת גנט לבחינת יציבות של דגם האופניים מתוצרתה.

כאשר כלי הרכב הדו גלגלי והרוכב נחשבים למערכת אחת, ניתן לחלק באופן כללי את הכוחות הפועלים על אותה מערכת ומרכיביה לשתי קבוצות: פנימית וחיצונית. הכוחות החיצוניים מושפעים מכוח הכבידה, ההתמד, המגע עם הקרקע והמגע עם האטמוספירה. הכוחות הפנימיים הם אלה המושפעים מן הרוכב ומהאינטראקציה בתוך ובין הרכיבים לבין עצמם.

כוח הכבידה מושך את הרוכב ואת כל מכלולי הכלי לכיוון מרכז כדור הארץ. בנקודת המגע של הצמיג בקרקע מופעלים כוחות בעלי רכיבים אנכיים ואופקיים. הרכיבים האנכיים כוללים בעיקר את כוח הכבידה, אך מושפעים מפעילות בלימה והאצה. הרכיבים האופקיים כוללים את החיכוך בין הגלגלים לקרקע, ומושפעים מההתנגדות לגלגול ומכוחות ההנעה, הבלימה והפנייה. כוחות אווירודינמיים הנובעים מהאטמוספירה והם בעיקר אפקט הגרר, אך יכולים להיות מושפעים גם מרוח צולבת. גרר אווירודינמי הוא הכוח הגדול ביותר שמתנגד לתנועה קדימה ומתגבר ככל שעולה המהירות. לכן, ברכיבה קבוצתית המקובלת במרוצי אופני כביש, נהוגה החלפה מתוזמנת של הרוכב המוביל המתמודד עם התנגדות האוויר הגדולה ביותר. כוחות פנייה נוצרים במהלך תמרונים לשמירה על האיזון בנוסף לשינוי כיוון הנסיעה. הם כוללים כוחות צנטריפוגליים ואת כוח ההתמד של הגוף הנע כולו. כוחות גירוסקופיים נוספים פועלים על חלקים נעים כמו הגלגלים, המנוע, תיבת הילוכים וכדומה, וגם הם מושפעים מכוח ההתמד של אותם רכיבים.

כוחות פנימיים הם אלה הפועלים בין מכלולי הכלי והרוכב ונוצרים בעיקר מפעילות הרוכב או מחיכוך. הכוונה בעיקר לפעולות כגון דיווש, היגוי, בלימה, ושיכוך וכן כל מכלולי ההנעה והעברת הכוח בין ובתוך הרכיבים השונים.

באופן כללי ניתן לחלק את התנועות של כלי רכב דו גלגליים לכאלה שהן מחוץ למישור הסימטריה המרכזי, כלומר צידיות, ולאלה שהן בתוך מישור הסימטריה המרכזי, כלומר אורכיות או אנכיות. תנועות צידיות כוללות איזון, הטיה, היגוי וסיבוב. תנועות במישור הסימטריה המרכזי כוללות תנועה קדימה, עצירות, הרמת גלגל (קדמי או אחורי) ושיכוך. התנועות בשתי הקבוצות אינן קשורות אחת לשנייה באופן ישיר.

ניתוח של דינמיקה צידית הוא מסובך ודורש שילוב של מידע אודות מרחב תלת-ממדי עם לפחות שתי קואורדינטות מוכללות. בנוסף, נדרשות לפחות שתי משוואות דיפרנציאליות ממעלה שנייה כדי להפריד בין התנועות העיקריות. לפיכך, פתרונות מדויקים אינם אפשריים, ובמקומן יש להשתמש בשיטות נומריות .

אופניים ואופנועים נשארים זקופים כאשר כוחות התגובה הקרקעיים מאוזנים בדיוק עם הכוחות הפנימיים והחיצוניים המופעלים עליהם, כגון כבידה, נטייה, התמד או כוחות צנטריפוגלים ואווירודינמים. היציבות נוצרת על ידי שילוב של גורמים התלויים בגאומטריה של מבנה הכלי, חלוקת המסה והמהירות בתנועה קדימה של הכלי. גם צמיגים, מתלים, שיכוך וגמישות המסגרת הם בעלי השפעה על האיזון בעיקר באופנועים. רוכב מיומן יכול לאזן אופניים ואופנוע גם במצב עמידה באמצעות הפעלה משולבת של היגוי, האצה, הטיות גוף, ושימוש בבלמים.

בזמן תנועה קדימה, הרוכב מפעיל מומנט על הכידון על מנת לסובב את הגלגל הקדמי וכך לשלוט בהטיה ולשמור על שיווי משקל. במהירויות גבוהות, זוויות היגוי קטנות מספיקות על מנת להזיז במהירות את נקודות המגע עם הקרקע והצידה. במהירויות נמוכות נדרשות זוויות היגוי גדולות יותר כדי להשיג את אותן תוצאות באותו פרק זמן. לכן, בדרך כלל קל יותר לשמור על שיווי משקל במהירויות גבוהות. מכיוון שיציבות עצמית מתרחשת בדרך כלל במהירויות מעל סף מסוים, נסיעה מהירה יותר מאפשרת שמירה על יציבות עצמית של הכלי.

ככל שמרכז הכובד של הכלי והרוכב משתלבים קרוב יותר לגלגל הקדמי, כך הגלגל הקדמי צריך פחות לנוע לצדדים כדי לשמור על שיווי משקל. לעומת זאת, ככל שמרכז הכובד ממוקם קרוב יותר לגלגל האחורי, נדרשת יותר תנועה לצדדים של הגלגל הקדמי או של תנועת הכלי קדימה כדי להחזיר את האיזון. היבט זה מורגש במיוחד בכלים בעלי בסיס גלגלים ארוך, כדוגמת דגמי אופני צ'ופר ואופנוע תיור. אופניים ואופנועים הם דוגמה למטוטלת הפוכה. כמו שקל יותר לאזן בעמידה על היד מקל מטאטא ארוך לעומת עיפרון קצר, כך כלים גבוהים, בעלי מרכז כובד גבוה, קל יותר לאזן ברכיבה לעומת כלים נמוכים, זאת מכיוון ששיעור ההטיה של הכלים הגבוהים תהיה איטית יותר. לעומת זאת, במצב עמידה, כלים בעלי מרכז כובד נמוך יהיו קלים יותר לאיזון. זוהי דוגמה למנוף אנכי שבו כוח קטן בקצהו כגון הידית, המושב או הכידון בחלק העליון של הכלי, יזיז ביתר קלות מסה גדולה אם המסה קרובה יותר לנקודת המשען, שם הצמיגים נוגעים בקרקע.

המהלך הוא המרחק שבין נקודת המגע של הצמיג בקרקע לבין נקודת המגע הפוטנציאלית בקרקע של הקו הדמיוני שנוצר מהמשך זווית המזלג הקדמי. כאשר נקודת המגע בקרקע נמצאת מאחורי הנקודה הפוטנציאלית מדובר במהלך חיובי, ולהפך. המהלך מושפע מזווית ציר ההיגוי (caster), זווית המזלג וגודל הגלגל. המהלך הוא גורם שמשפיע עד כמה קל או קשה תהיה הרכיבה על אופניים או אופנוע. ככל שהמהלך חיובי וארוך יותר, כך יהיה הכלי יציב יותר בעת התנועה קדימה ולהפך, ככל שהמהלך קצר יותר כך יהיה הכלי יציב פחות. עם זאת, מהלך חיובי גדול מאד מקשה על ההיגוי. בדרך כלל, אופניים ואופנועים מסורתיים הם בעלי מהלך ארוך יחסית ולכן יציבים יותר ברכיבה. אופני כביש הם בעלי מהלך גדול יותר משל אופני טיולים אבל קטן יותר משל אופני הרים הנדרשים ליציבות אורכית משופרת בירידות. לאופני הטיולים מהלך קטן כדי להקל על הרוכב בשליטה על המטען המועמס על הציר הקדמי.

בסיס הגלגלים הוא גורם בעל השפעה מהותית על היציבות הכיוונית של אופניים ואופנועים, והוא מחושב כמרחק האופקי בין נקודות המגע עם הקרקע של הגלגל הקדמי והאחורי. בעת שינויים בהיגוי של הגלגל הקדמי, הסטייה הכיוונית של נתיב התנועה עומדת ביחס הפוך לבסיס הגלגלים, כלומר ככל שבסיס הגלגלים ארוך יותר כך הסטייה הכיוונית קטנה יותר. לעומת זאת, רדיוס העקומה וזווית ההטיה עומדים ביחס ישר לבסיס הגלגלים כלומר ככל שבסיס הגלגלים גדול יותר כך גדלים רדיוס העקומה וזווית ההטייה. פעולות של הטיה ושינויי היגוי גורמים לגידול בבסיס הגלגלים.

גורם נוסף התורם ליציבות העצמית של אופניים ואופנועים בעיצוב מסורתי הוא חלוקת המסה במנגנון ההיגוי, הכולל את הגלגל הקדמי, המזלג והכידון. אם מרכז המסה של מנגנון ההיגוי נמצא לפני ציר ההיגוי, השפעת כוח הכבידה תגרום לגלגל הקדמי לפנות לכיוון ההטיה. ניתן לראות זאת במצב מנוחה, כאשר הכלי נשען על הרגלית, הגלגל הקדמי ייטה לכיוון צד הרגלית.

ברוב עיצובי האופניים והאופנועים, האפקט הגירוסקופי פועל להטיית הגלגל הקדמי לכיוון ההטיה. תופעה זו נקראת נקיפה, והיא עומדת ביחס הפוך למהירות הסיבוב שלו. ככל שהגלגל הקדמי מסתובב לאט יותר, כך השפעת הנקיפה תהיה מהירה יותר בעת הטיה, ולהפך. הגלגל האחורי אינו מושפע מהנקיפה עקב החיכוך שלו עם הקרקע וממשיך בהטיה כאילו אינו מסתובב כלל. מכאן עולה כי כוחות גירוסקופיים אינם מונעים התהפכות. בעת תנועה במהירות איטית קדימה, הנקיפה של הגלגל הקדמי תהיה מהירה, ותגרום להטייה בלתי מבוקרת של הכלי, להיגוי יתר, להתחיל בהטיה לכיוון השני ולבסוף להתנדנד וליפול. לעומת זאת בעת תנועה מהירה קדימה, הנקיפה בדרך כלל תהיה איטית, ותגרום להטייה בלתי מבוקרת של הכלי, לתת-היגוי ולנפילה עוד לפני שהגיעו למצב זקוף. הכניסה למצב של חוסר היציבות הזה מתרחש באופן איטי מאוד, בסדר גודל של שניות, ורוב הרוכבים מנטרלים אותו בקלות. לפיכך, אופניים מהירים עשויים להרגיש יציבים למרות שהם למעשה אינם יציבים באופן עצמאי והיו נופלים מייד אם הם היו בלתי נשלטים. תרומה נוספת של האפקט הגירוסקופי היא מומנט גלגול שנוצר על ידי הגלגל הקדמי כתוצאה מהיגוי נגדי. כך למשל, היגוי שמאלה גורם למומנט ימינה. המומנט הזה הוא קטן בהשוואה לזה נוצר על ידי הגלגל הקדמי בכיוון הפניה, אך הוא מתחיל מייד ברגע שהרוכב מפעיל מומנט על הכידון ולכן נמצא בשימוש על ידי רוכבי אופנועים.

למרות השפעת הגורמים שתוארו לעיל התורמים לאיזון (מהלך, חלוקת מסה, השפעות גירוסקופיות וכו'), עשוי להתקיים טווח של מהירויות קדימה עבור כל עיצוב אופניים ואופנוע מסוים, המאפשרים היגוי מכוון שלהם ללא אחיזת ידיים של הרוכב.

במחקרים שנערכו נמצא כי לתאוצה האורכית השפעה גדולה ומורכבת על הדינמיקה הצידית. במחקר אחד נמצא כי תאוצה חיובית מבטלת את היציבות העצמית, ואילו תאוצה שלילית (האטה) משנה את מהירויות היציבות העצמית.

על מנת שאופניים ואופנוע יפנו, כלומר ישנו את כיוון הנסיעה קדימה, יש לכוון את הגלגל הקדמי לכיוון הרצוי, כמו בכל כלי רכב בעלי היגוי קדמי. החיכוך בין הגלגלים והקרקע יוצר תאוצה צנטריפטלית הדרושה כדי לשנות את הכיוון ישר וקדימה בשילוב של כוח הפנייה והשפעת החיכוך. ניתן להעריך את רדיוס הסיבוב של כלי זקוף (ללא הטיה), עבור קירוב זווית קטנה כתלות בבסיס הגלגלים והקסטר (caster) שהיא זווית המזלג הקדמי ביחס לציר האנך של מרכז הגלגל.

בניגוד לכלי רכב אחרים, אופניים ואופנועים חייבים לנטות במהלך הסיבוב כדי לאזן את כלל הכוחות הפועלים עליהם: כבידה, התמד, חיכוך ותמיכה בקרקע. זווית ההטיה הנדרשת ניתנת לחישוב באמצעות חוקי תנועה מעגלית. רוחב הצמיגים גם הוא בעל השפעה על זווית ההטיה הנדרשת בפועל. ככל שהצמיג רחב יותר נדרשת הטיה גדולה יותר והיא יורדת ככל שמרכז הכובד גבוה יותר. לכן, אופניים ואופנועים בעלי צמיגים רחבים ומרכז מסה נמוך חייבים לנטות יותר מכלים בעלי צמיגים צרים ומרכז כובד גבוה יותר כדי לבצע את אותה פנייה באותה מהירות.

זווית ההטייה תלויה במהירות הנסיעה וברדיוס הסיבוב. ככל שהמהירות גבוהה יותר והפנייה הדוקה יותר, כך נדרשת זווית ההטייה להיות גדולה יותר. הקו המחבר בין מרכז הכובד ונקודת המגע של הצמיג בקרקע חייב להיות בכוון הכוח השקול של הכוח הצנטריפוגלי והמשקל. החיכוך הסטטי של הגלגלים בקרקע קובע את זווית ההטייה המרבית, וחריגה ממנו תגרום להחלקה ונפילה. לפני כניסה לפניות הדוקות ובעת רכיבה על משטחים שמנוניים, או חלקלקים, נדרש שימוש בבלמים לצורך האטה מכיוון שהחיכוך שהם יוצרים לא מספיק על מנת ליצור את הכוח הצנטריפטלי הנדרש. זווית ההטייה המרבית נקבעת על ידי מקדם החיכוך הסטטי. בעת רכיבה במהירויות נמוכות מאוד, על זוויות הטיה קטנות יש לפצות באמצעות זוויות היגוי גדולות. ברכיבה מעל למהירות המינימלית באה לידי ביטוי השפעת הכוח הצנטריפטלי בכוון מרכז המעגל ומאפשר שימוש בזוויות היגוי קטנות יותר.

על מנת ליזום פנייה ואת ההטיה הנדרשת לכיוון אותה פנייה, אופניים ואופנועים חייבים לייצר היגוי רגעי בכיוון ההפוך. דבר זה מכונה היגוי נגדי. כאשר הגלגל הקדמי נמצא בזווית לכיוון התנועה, מתפתח כוח צידי בנקודת המגע של הצמיג עם הדרך. כוח זה יוצר מומנט סביב ציר האורך (הגלגול) של הכלי, וגורם לו לנטות לכיוון הפנייה. ללא השפעה חיצונית, כגון רוח צד, היגוי נגדי נחוץ כדי להתחיל את פעולת הסיבוב. בעוד שמומנט ההיגוי הראשוני וזווית ההיגוי מנוגדים לכיוון הפנייה הרצוי, הרי שעל מנת לשמור על פנייה במצב יציב, יש לשמור על זווית היגוי בכיוון הפנייה. למרות זאת, במהירויות גבוהות ייתכן צורך לשמר זווית היגוי הפוכה לכיוון הפנייה. מומנט ההיגוי הנדרש כדי לשמר על זווית ההיגוי וכן הגודל והכיוון בפועל שלה, תלויים במהירות, בגאומטריה של האופניים, בתכונות הצמיגים ובחלוקת המסה המשולבת של האופניים והרוכב. במהלך הפניה עצמה, ניתן לשנות את הרדיוס רק באמצעות שינוי ההטייה, וניתן לבצע זאת באמצעות היגוי נגדי נוסף. על מנת לצאת מפנייה, יש ליצור שוב היגוי נגדי רגעי לתוך הפנייה על מנת להקטין את הרדיוס, ובכך להגביר את כוחות האינרציה, ולהקטין את זווית ההטיה.

לאחר כניסה לסיבוב, המומנט שיש להפעיל על מנגנון ההיגוי על מנת לשמור על רדיוס קבוע בתנועה קבועה קדימה תלוי במהירות, בגאומטריה ובפיזור המסה של הכלי. במהירויות הנמוכות ממהירות ההתהפכות, היציבות העצמית של הכלי תגרום להם לנטות לתוך הפנייה, להתיישר ולצאת ממנה במצב זקוף. במהירויות שמעל מהירות ההתהפכות, חוסר היציבות תגרום להם לנטות החוצה מהפנייה, ולהגדיל את ההטיה, אלא אם מופעל מומנט בכיוון הפנייה.

קיימים מספר גורמים המשפיעים על זווית ההיגוי, כלומר הזווית שבה מסתובב המכלול הקדמי סביב ציר ההיגוי, לצורך השמירה על פנייה יציבה. חלקם ייחודיים לכלי רכב דו גלגלי-טורי, ואילו אחרים קיימים גם במכוניות. הראשון הוא זווית ההיגוי הקינמטית בפועל, כלומר הזווית המכוונת על מישור הכביש שעליו נע המכלול הקדמי והיא תלויה בזווית ההיגוי וזווית ציר ההיגוי. השני הוא שיעור ההטיה של האופניים המקטינה את רדיוס הסיבוב בפועל ביחס לקוסינוס של זווית ההטיה. השלישי קשור בצמיגים. מכיוון שלצמיגים הקדמיים והאחוריים יכולות להיות זוויות החלקה שונות עקב חלוקת המשקל, תכונות הצמיגים וכדומה, ייתכן מצב של תת-היגוי או היגוי יתר. במצב של תת-היגוי, זווית ההיגוי תהיה גדולה יותר, ובמצב של היגוי יתר, זווית ההיגוי תהיה קטנה יותר מאשר במצב שבו זוויות ההחלקה היו שוות וזאת על מנת לשמור על רדיוס סיבוב נתון. הרביעי קשור גם הוא לצמיגים, ובעיקר לכוח שנוצר בניצב לכיוון הנסיעה של הצמיג המתגלגל והחלק שלו היוצר את המגע הסופי שלו עם הכביש, ומכונה דחף קמבר ( camber thrust ). כוח זה משפיע על הכוח הצנטריפטלי הדרוש כדי לגרום לכלי לסטות מהכיוון הישר, ביחד עם כוח הפנייה בגלל זווית ההחלקה. דחף קמבר גורם לאופניים לבצע פנייה באותו רדיוס כמו מכוניות אך עם זווית היגוי קטנה יותר.

בעוד שהיגוי נגדי מתחיל בדרך כלל על ידי הפעלת מומנט ישירות על הכידון, בכלי רכב קלים יותר כגון אופניים, ניתן לבצע זאת באמצעות העברת משקלו של הרוכב. כאשר הרוכב נוטה ימינה ביחס לאופניים, האופניים יטו שמאלה כדי לשמור על תנע זוויתי, ומרכז הכובד המשולב נשאר כמעט באותו מישור אנכי. נטייה שמאלה זו של האופניים, דומה ליצירת היגוי נגדי באמצעות הפעלת מומנט ישירות על הכידון. עם זאת מדובר בטכניקה שאינה קלה ליישום ורוב האנשים מתקשים באיזון אופניים בשיטה זו בלבד.

אחת ההשפעות של סיבוב הגלגל הקדמי היא מומנט גלגול שנגרם על ידי נקיפה גירוסקופית. המשרעת של המומנט פרופורציונלית למומנט האינרציה של הגלגל הקדמי, מהירות הסיבוב שלו (תנועה קדימה), שיעור הפנית הגלגל הקדמי על ידי הרוכב באמצעות הפעלת מומנט על הכידון, והזווית בין ציר ההיגוי והאנך. הכוח הגירוסקופי מתחיל לפעול מיידית ברגע שהרוכב מפעיל את המומנט, בניגוד לתהליך הצטברות הכוח כתוצאה מהפניית הגלגל. ניצול עובדה זו משמשת בעיקר במרוצי אופנועים.

צמיגים הם בעלי השפעה רבה בתפעול אופניים, ובמיוחד באופנועים. הם משפיעים על דינמיקת הכלי בשתי דרכים מובחנות: רדיוס הצמיג ובניית כוח. הגדלת רדיוס הצמיג הקדמי מקטינה את היציבות העצמית. הגדלת רדיוס הצמיג האחורי מגדילה אותה אך בשיעור נמוך יותר. הצמיגים מייצרים את הכוחות הצידיים הדרושים להיגוי ואיזון באמצעות שילוב של כוח הצד ודחף קמבר שלהם . גם לחץ ניפוח הצמיגים משפיע על התנהגות אופנוע במהירויות גבוהות. מכיוון שקיים הבדל בזווית ההחלקה בין הצמיגים הקדמיים והאחוריים עקב חלוקת המשקל, תכונות הצמיגים וכדומה, עלול להיווצר תת-היגוי או היגוי יתר . תת-היגוי, שבו הגלגל הקדמי מחליק יותר מהגלגל האחורי, מסוכן יותר, מכיוון שהיגוי הגלגל הקדמי הוא קריטי לשמירה על שיווי המשקל. משטח המגע של הצמיג עם הכביש יכול ליצור מומנט חיכוך, וכאשר הם בסיבוב, להחליק הצידה תוך כדי הגלגול וליצור מומנטים מעל ציר הוקטור נורמלי למישור המגע. מומנט אחד שנוצר על ידי צמיג, מכונה מומנט היישור העצמי, אשר נגרם על ידי אסימטריות בהחלקה הצידית לאורך משטח המגע. הכוח הנובע של החלקה צדדית זו מתרחש מאחורי המרכז הגאומטרי של משטח המגע, ויוצר מומנט על הצמיג. מכיוון שכיוון ההחלקה הצידית הוא לכיוון החלק החיצוני של הפנייה, הכוח על הצמיג הוא לכיוון מרכז הפנייה. לכן, מומנט זה גורם להפניית הגלגל הקדמי לכיוון הפוך מכיוון הפנייה, ולהגדיל את רדיוס הסיבוב. מומנט נוסף מופק על ידי הרוחב של משטח המגע ושיעור ההטיה של הצמיג בסיבוב. החלק של משטח המגע לכיוון החלק החיצוני של הפנייה נע למעשה אחורה, ביחס למרכז הגלגל, ובמהירות גבוהה יותר משאר משטח המגע, וזאת עקב הרדיוס הגדול יותר שלו מהמרכז. מכאן עולה שהחלק הפנימי נע לאחור לאט יותר כלומר החלקים החיצוניים והפנימיים של משטח המגע מחליקים על הדרך בכיוונים מנוגדים, ויוצרים מומנט שגורם להטיית הגלגל הקדמי לכיוון הפנייה, ולהקטין את רדיוס הפניה. השילוב של שני המומנטים ההפוכים הללו יוצר מומנט פיתול על הגלגל הקדמי, שכיוונו תלוי בזווית ההחלקה הצידית של הצמיג. הזווית בין הכיוון האמיתי של משטח הצמיג לעומת הכיוון שאליו הוא מכוון, וכן זווית הקמבר של הצמיג (הזווית שהצמיג נוטה מהאנך). התוצאה של מומנט זה היא הפחתה של מהירות ההתיישרות לעומת פנייה במצב יציב.

קיים קושי לכמת את כושר התמרון והתפעול באופניים ואופנועים וזאת מכיוון שהגאומטריה שלהם, ובמיוחד זווית ציר ההיגוי הופכת את הניתוח הקינמטי למסובך. בנוסף, אופניים ואופנועים אינם יציבים מטבעם וחייבים להיות תמיד בשליטת הרוכב, ולמיומנות הרוכב יש השפעה רבה על הביצועים שלהם בתמרון. עיצובי אופניים ואופנועים מהווים פשרה בין כושר תמרון ויציבות.

הפעולה העיקרית שהרוכב יכול לבצע הוא הפעלת מומנט ישיר על מנגנון ההיגוי באמצעות הכידון. הפעולה המשנית שהרוכב יכול לבצע היא הטיה של פלג הגוף העליון ביחס לכלי. השפעת ההטייה משתנה באופן הפוך למסת הכלי. ככל שהם כבדים יותר, כמו אופנועים, הטיית הרוכב משנה בעיקר את דרישות מרווח הגחון בפנייה, משפרת את נקודת המבט לכביש ומשפרת את הדינמיקה הכללית של המערכת באופן פסיבי ושולי. לעומת זאת במרוצי אופנועים, הטיית פלג הגוף העליון, הזזת הגוף לתוך הפנייה והסטת הברך לחלק הפנימי של הפנייה גורמים למומנט סיבסוב אווירודינמי המקל על הכניסה והסיבוב בפנייה.

הצורך לשמור על אופניים זקופים במצב נסיעה כדי למנוע פציעה של הרוכב ונזק לכלי מגביל את אופי מבחני התמרון המבוצעים. כך, בעוד שפרסומים של מכוניות מציגים את הביצועים הדינמיים שלהם במסלולים, פרסומי אופנועים נמנעים מכך. רוכב אופנוע חייב להכין את עצמו לפני כל פנייה בהיבטי המהירות והנטיה הרבה יותר מהנדרש מנהג רכב באותה מהירות.

מספר מדדי השוואה התקבלו במטרה לדרג ביצועי תמרון ותפעול, והם רלוונטיים במיוחד עבור אופנועים:

• מדד הגלגול-היחס בין מומנט ההיגוי לזווית ההטייה,
• מדד התאוצה -היחס בין מומנט ההיגוי לתאוצה הצנטריפטלית.
• יחס ההיגוי-היחס בין רדיוס הסיבוב התאורטי המבוסס על התנהגות צמיג אידיאלית לבין רדיוס הסיבוב בפועל. ערכים הנמוכים מאחד, כלומר שבהם החלקת הגלגל הקדמי גדולה מהחלקת הגלגל האחורי, נחשבים כתת--היגוי, כאשר היחס שווה לאחד נחשב כהיגוי נייטרלי, וכאשר הערכים גדולים מאחד נחשב כהיגוי יתר. ערכים הנמוכים מאפס, כלומר שבהם יש להפנות את הגלגל הקדמי בניגוד לכיוון העקומה עקב החלקה גדולה יותר של הגלגל האחורי מאשר הגלגל הקדמי, נחשבים כהיגוי נגדי. רוכבים מעדיפים בדרך כלל היגוי יתר נייטרלי או קל, לעומת נהגי מכוניות המעדיפים בדרך כלל תת-היגוי.
• מדד קוך-היחס בין שיא מומנט ההיגוי לבין הנטייה המקסימלית בתנועה קדימה, ומייצג את כושר התמרון. אופנועי תיור גדולים הם בדרך כלל בעלי מדד קוך גבוה, אופנועי ספורט הם בעלי מדד קוך בינוני, ואילו קטנועים הם בדרך כלל בעלי מדד קוך נמוך. לכן, קל יותר לתמרן קטנועים קלים מאשר אופנועים כבדים.

למרות שניתן לבצע ליניאריזציה של משוואות התנועה שלהם, אופניים ואופנועים הם מערכת לא ליניארית . לא ניתן לכתוב את המשתנים שיש לפתור כסכום ליניארי של רכיבים בלתי תלויים, כלומר ההתנהגות של אופניים אינה ניתנת לביטוי כסכום התנהגויות של רכיביהם. באופן כללי, מערכות לא ליניאריות קשות לפתרון והן הרבה פחות מובנות ממערכות ליניאריות. במצב אידיאלי, שבו מתעלמים מחיכוך וכל גמישות אחרת, אופניים ואופנועים הם מערכת הפועלת על פי חוק שימור האנרגיה . עם זאת, עדיין ניתן להדגים ריסון (פיזיקה) . בנסיבות מסוימות, תנודות מצד לצד יפחתו עם הזמן. אנרגיה המתווספת מתנודות כאלה באופניים ואופנועים המתקדמים ישר וזקוף (יציבות עצמית) לא תאבד אלא תומר להגברת המהירות קדימה. אופניים ואופנועים הם מערכת לא-הולונומית כלומר מערכת פיזיקלית שמצבה תלוי בדרך שננקטה על מנת להשיגה. כדי לדעת את תצורתה המדויקת של המערכת, במיוחד את מיקומה, יש צורך לדעת לא רק את תצורת חלקיה, אלא גם את ההיסטוריה שלהם, כלומר כיצד הם נעו לאורך הזמן. דרישה זו מסבכת את הניתוח המתמטי. על פי ניסוח של תורת הבקרה, אופניים מציגים התנהגות של פאזה לא מינימלית, כלומר היא מתפתחת בכיוון הפוך לזה שבתחילה, כדוגמת היגוי נגדי.

לאופניים ואופנועים, כמנגנונים מורכבים, יש מגוון של אופני תנודה עצמיים, כלומר אפשרויות בסיסיות של תנועה. מצבים אלו יכולים להיות יציבים או לא יציבים, והם תלויים במאפייני הכלי ובמהירות קדימה. בהקשר זה, המונח "יציב" פירושו שכלי ללא שליטה ימשיך להתגלגל קדימה מבלי ליפול כל עוד נשמרת התנועה קדימה. לעומת זאת, המונח "לא יציב" פירושו שכלי ללא שליטה יפול בסופו של דבר, גם אם תישמר התנועה קדימה. ניתן להבדיל בין המצבים הללו לפי המהירות שבה הם מתחלפים, והמצב היחסי של הנטייה וההיגוי כאשר הוא מתרחש. כל תנועת אופניים ואופנועים מורכבת משילוב של רמות שונות של המצבים האפשריים, ויש שלושה מצבים עיקריים שיכולים להתרחש: התהפכות, נדנוד קל ונדנוד עז.

התהפכות היא מצב שבו הגלגל הקדמי פונה לכיוון ההטייה ללא שליטה עד ליצירת זווית הטיה גבוהה מאוד, ויצירת היגוי בכיוון ההפוך. התהפכות יכולה להתפתח בקצב איטי אם הכלי נע קדימה במהירות, ומאפשרת לרוכב לשלוט בה. ברוב סוגי האופניים והאופנועים, וכתלות במבנה הגאומטרי ופיזור המסה שלהן, ההתהפכות היא יציבה במהירויות נמוכות, ונעשית פחות יציבה ככל שהמהירות עולה עד שהיא אינה יציבה יותר. בדרך כלל האחיזה של הצמיגים בדרך מספיקה כדי למנוע התהפכות בלתי יציבה במהירויות גבוהות.

נדנוד קל נחשב ל 0–4 תנודות בשנייה בזמן הטיה שמאלה להיגוי ימינה, ולהפך. הכלי מושפע משינויים משמעותיים בזווית ההיגוי, זווית ההטיה (גלגול) וזווית הסבסוב . ברוב סוגי האופניים והאופנועים, וכתלות במבנה הגאומטרי ופיזור המסה שלהם, נדנוד קל אינו יציב במהירויות נמוכות, והופך לפחות משמעותי ככל שהמהירות עולה עד להשגת יציבות. למעשה, עם העלייה במהירות המשרעת יורדת, והתדירות עולה.

נדנוד עז נחשב כזה של 4–10 תנודות בשנייה בעיקר בחלק הקדמי בלבד (גלגל קדמי, מזלג וכידון), ובדרך כלל בנוסף גם סבסוב של המסגרת האחורית . אי יציבות זו מתרחשת בעיקר במהירות גבוהה. ניתן לתקן תנודות עזות על ידי הפחתת מהירות, מיקום או אחיזה של הכידון, ועלול להיות קטלני במקרה של אובדן שליטה. נדנוד עז מתפתח כתוצאה מאי סדירות קטנה אחרת, כגון אסימטריה של המזלג אשר גורם להאצה של הגלגל לצד אחד. ניסיון לתקן באמצעות הפעלת כוח לכיוון השני תגרום לתהליך לחזור על עצמו. אם אין שיכוך מספיק בהיגוי, התנודה תגדל עד להתרחשות כשל במערכת. ניתן לשנות את תדירות התנודות על ידי שינוי המהירות קדימה או הגברת הקשיחות בהיגוי, אך בכל מקרה הרוכב הוא המרכיב העיקרי להפחתתו.

מאפייני העיצוב המבני של אופניים ואופנועים הם בעלי השפעה על מצבים של נדנוד. קשיחות המבנה של המסגרת האחורית ושל ציר הגלגל, משפיעה באופן מהותי על שיכוך מצב הנדנוד. בסיס גלגלים ומהלך ארוך וזווית היגוי שטוחה מסייעים לשיכוך הנדנוד, וכך גם מיקום ציר הפיתול של המזלג הקדמי נמוך ככל האפשר. בנוסף, ניתן להקטין מצב נידנוד באמצעות הגברת השיכוך על הציר האחורי או הגברת העומס עליו וכן שימוש בצמיגים בעלי קמבר קשיח המשולב ברכות מבנית הם בעלי תרומה משמעותית בהפחתת הנדנוד.

על אופניים ואופנועים מופעלים מגוון של כוחות ותנועות בציר האורך. בדרך כלל, כאשר הגלגל הקדמי פונה הצידה, כל המסגרת האחורית נוטה מעט קדימה, בהתאם לזווית ציר ההיגוי ולגודל המהלך. באופניים ואופנועים בעלי בולמי זעזועים קדמיים, אחוריים או שניהם, משתמשים בתיקון של התצורה הגאומטרית שלהם, במיוחד בתגובה לכוחות בלימה, האצה, פנייה, העברת הכוח וגרר אווירודינמי. העומס על הגלגלים משתנה בהתאם למיקום מרכז הכובד, והוא תלוי במספר הנוסעים, המטען, ומיקום הנוסעים והמטען, וגם בהאצה ובהאטה. תופעה זו מכונה בשם העברת עומס או העברת משקל ומספקת אתגרים והזדמנויות הן לרוכבים והן למעצבים. כך לדוגמה, רוכבים יכולים להשתמש בו כדי להגביר את החיכוך הזמין לצמיג הקדמי בסיבובים, וניסיונות להפחית את דחיסת בולמי הזעזועים הקדמיים במהלך בלימה חזקה הובילו לעיצובי מזלג שונים. כלל כוחות הגרר האווירודינמי יכולים להיחשב כפועלים בנקודה אחת, הנקראת מרכז הלחץ. במהירויות גבוהות, הדבר יוצר מומנט על הגלגל המניע-האחורי וגורם להעברת עומס נטו מהגלגל הקדמי לגלגל האחורי. בנוסף, בהתאם לצורת האופניים ולצורת כל פיירינג המותקן על אופנוע עשוי להיווצר עילוי אווירודינמי שיביא להפחתה נוספת של העומס על הגלגל הקדמי.

למרות שאופניים ואופנועים הם יציבים במצב נייח, הם עלולים להפוך לבלתי יציבים בציר האורך בזמן האצה או האטה, וניתן לנתח באמצעות החוק השני של אוילר את כוחות התגובה הקרקעיים שנוצרו. אם מרכז הכובד נמצא מאחורי או מתחת לקו שבין משטח המגע של הגלגל הקדמי בקרקע והקו האופקי שבין מרכזי הגלגלים, כמו ברוב אופני טנדם או אופני שכיבה עם בסיס גלגלים ארוך, כמו גם במכוניות, הגלגל הקדמי לא יוכל ליצור כוח בלימה חזק עד כדי היפוך, כמו שאפשרי באופניים זקופים ומכונה "סטופי", אפילו בתנאים הטובים ביותר. באופן דומה, אופניים ואופנועים חזקים יכולים לייצר מספיק מומנט בגלגל האחורי כדי להרים את הגלגל הקדמי מהקרקע בתמרון המכונה "וילי", כתלות בחיכוך הזמין, מרכז הכובד וההספק.

לצורך בלימה, הרוכב בתנועה מבצע שינוי של מהירות המסה המשולבת שלו ושל האופניים. זוהי תאוצה שלילית בכיוון התנועה. ככל שהתאוצה השלילית גדולה יותר כך הזמן הדרוש לשינוי מהירות קצר יותר כוח הבלימה שיש להפעיל על כל גלגל תלוי הן בתנאי הקרקע והן באיזון המשקל המועמס על הגלגלים בכל עת. כדי להפחית את השפעת הגורמים הסביבתיים ותנאי הקרקע הרוכב יכול לעמוד ולנטות קדימה בעת בלימה על מנת להסיט את מרכז הכובד ובכך להגביר את העומס והחיכוך על הגלגל הקדמי . גורמים נוספים המשפיעים על עוצמת ואיכות הבלימה הם: אם הקרקע רטובה או יבשה, טמפרטורת הצמיג והקרקע, החלקות או החספוס של הקרקע, המוצקות או הרפיון של הקרקע.

רוב כוח הבלימה של אופניים ואופנועים סטנדרטיים במצב זקוף מגיע מהגלגל הקדמי. אם הבלמים עצמם חזקים מספיק, ניתן לבצע החלקה של הגלגל האחורי, וליצור כוח עצירה מספיק על מנת להפוך את האופניים והרוכב מעל הגלגל הקדמי. למרות זאת בכלים ארוכים או נמוכים, כמו אופנועי תיור, תיתכן החלקה של הצמיג הקדמי אשר עלול לגרום לאובדן שיווי משקל. בהנחה שאין איבוד שיווי משקל, ניתן לחשב ביצועי בלימה מיטביים בהתאם לגאומטריה של האופניים, מיקום מרכז הכובד של האופניים והרוכב, ומקדם החיכוך המרבי. כאשר מותקנים בולמי זעזועים קדמיים, במיוחד צינורות מזלג טלסקופיים, העלייה בכוח ההצמדה כלפי מטה על הגלגל הקדמי במהלך בלימה עלולה לגרום לבולמים להידחס ולהנמיך את החלק הקדמי. טכניקת רכיבה המנצלת את האופן שבו בלימה מגבירה את הכוח כלפי מטה על הגלגל הקדמי ידועה בשם בלימת שבילים.

הגורמים המגבילים האטה מרבית בבלימת הגלגל הקדמי הם: הערך המרבי של חיכוך סטטי בין הצמיג לקרקע, החיכוך הקינטי בין רפידות הבלמים והחישוק או הדיסק, שיעור הנטייה של האופניים והרוכב מעל הגלגל הקדמי. עבור אופניים ואופנועים זקופים על אספלט יבש עם בלמים מצוינים, שיעור ההטיה יהיה כנראה הגורם המשפיע ביותר. מרכז הכובד המשולב של אופניים ואופנועים זקופים ורוכב טיפוסי יהיה כ-60 ס"מ מאחורי נקודת המגע של הגלגל הקדמי והכביש ובגובה של 120 ס"מ. מצב זה מאפשר האטה מרבית של 5 מ' לשניה^2. אם הרוכב מטה את מיקומו אחורה ומטה, ניתן להשיג האטה גדולה יותר.

בלם אחורי של אופניים ואופנועים במצב זקוף יכול לייצר כוח בלימה מקסימלי של 2.5 מ' לשניה^2, כלומר רק חצי מעוצמת הבלימה באמצעות הגלגל הקדמי. כל אופניים ואופנוע עם בלם אחורי בלבד כפופים למגבלה זו. למרות זאת קיימים מצבים שבהם עדיפה בלימה באמצעות הגלגל האחורי בלבד כגון: בנסיעה על משטחים חלקלקים או משטחים גבשושיים בעלי מקדם חיכוך נמוך העלולים לגרום להחלקת הגלגל הקדמי ולאבדן שווי משקל. במצב של תקר בצמיג הקדמי, בלימת גלגל עם תקר עלולה לגרום לצמיג לרדת מהחישוק ולגרום לאובדן שיווי משקל. בלימה מכוונת של הגלגל האחורי במטרה לגרום להחלקה של החלק האחורי ויצירת היגוי יתר לצורך השגת רדיוס פנייה קטן יותר בפניות הדוקות. פעולה יזומה מסוג זה דורשת מיומנות גבוהה של הרוכב. באופניים ואופנועים בעלי בסיס גלגלים ארוך נדרש בלם אחורי טוב מכיוון שמרכז הכובד שלהם ממוקם בסמוך לגלגל האחורי.

דעת המומחים משתנה בין "השתמש בשתי הידיות באופן שווה ומייד" ועד "הדרך המהירה ביותר לעצור אופניים ואופנועים בעלי בסיס גלגלים רגיל הוא להפעיל את הבלם הקדמי בכוח מקסימלי עד שהגלגל האחורי עומד להתרומם מהקרקע", כל זאת כתלות בתנאי הדרך, רמת מיומנות הרוכב, והאטה מקסימלית הנדרשת.

אופניים יכולות להיות מצוידות בבולם זעזועים קדמי בלבד, אחורי בלבד, ללא בולמי זעזועים כלל, או בשניהם כמו באופנועים. הללו פועלים בעיקר במישור הסימטריה המרכזי, תוך השפעה צידית. המטרות של בולמי הזעזועים הן להפחית את הרעידות שחווה הרוכב, לשמור על מגע קבוע של הגלגלים עם הקרקע, להפחית את אובדן המומנטום בעת רכיבה מעל מכשול, להפחית את כוחות הפגיעה הנגרמים מקפיצות או נפילות ולשמור על תקינות הרכב. הפרמטרים העיקריים של בולמי זעזועים הם קשיחות, יכולת שיכוך, תגובתיות למסה הנשענת עליהם ומאפייני צמיגים.

חקר הרעידות באופניים ואופנועים כולל את מכלול הגורמים שלו, כגון איזון מנוע, איזון גלגלים, השפעת פני הקרקע ואווירודינמיקה. המחקר דן בהעברתו, ספיגתו, והשפעותיו על הכלי, הרוכב והבטיחות. גורם חשוב בכל ניתוח רטט הוא השוואה של התדרים הטבעיים של המערכת עם תדרי ההנעה האפשריים של מקורות הרטט. כאשר קיימת התאמה קרובה נגרמת תהודה מכנית שיכולה לגרום לאמפליטודות גדולות. האתגר בשיכוך רעידות הוא ליצור התאמה אנכית מבלי לפגוע בקשיחות המסגרת הדרושה לצורך העברת הכוח והתנגדות לפיתול. בנוסף, יש להתגבר על האפשרות של כשל כתוצאה מעייפות החומר. השפעות הרטט על הרוכב כוללות אי נוחות, אובדן יעילות, תסמונת רטט יד-זרוע (מחלת היד הלבנה), שהיא צורה משנית של מחלת רנו ורטט של כל הגוף. מכשירים שונים המורכבים על הכלי או על גוף הרוכב עלולים להיות מושפעים מרטט ולשקף נתונים לא מדויקים או קשים לקריאה.

הגורם העיקרי לרעידות באופניים תקינים הוא המשטח עליו הם נעים. בנוסף לצמיגים פנאומטיים ובולמי זעזועים, פותחו מגוון טכניקות לשיכוך רעידות לפני שהן פוגעות ברוכב. אלה כוללים חומרים, כגון בנייה מסיבי פחמן של המסגרת או רכיבים מרכזיים כגון המזלג הקדמי, מוט המושב או הכידון. עיצוב צינורות בפרופיל לא מעוגל, תומכות מושב מעוקלות, וציפויי ג'ל באזורי אחיזת הכידון והמושב .

באופנועים, בנוסף למשטח עליו הם נעים, נוצרות רעידות כתוצאה מתנועות פנימיות של המנוע והגלגלים, אם אינם מאוזנים. היצרנים משתמשים במגוון טכנולוגיות כדי להפחית או לשכך רעידות אלו, כגון בוכנות איזון במנוע, תושבות מנוע עשויות גומי ומשקולות איזון בחישוקי הגלגלים. אמצעים נוספים יכולים להיות משקולות כידון, מדרכי רגל מבודדים ומשקולות איזון למנוע. במהירויות גבוהות, אופנועים ורוכביהם עלולים לחוש רעידות גם ממקור אווירודינמי כתוצאה משינויים בזרימת האוויר על פני חלקים שונים של הכלי, כגון מגן הרוח אשר גם אותם ניתן לעצב במטרה להפחית את השפעת הרטט.

• https://www.researchgate.net/publication/3207639_Bicycle_dynamics_and_control_Adapted_bicycles_for_education_and_research
• http://bicycle.tudelft.nl/schwab/Bicycle/
• 'An Introduction to Bicycle Geometry and Handling', Karl Anderson
• 'What keeps the bicycle upright?' by Jobst Brandt
• 'Report on Stability of the Dahon Bicycle' *(אורכב 09.03.2021 בארכיון Wayback Machine) by John Forester

• "Angular momentum and motorcycle counter-steering: A discussion and demonstration", A. J. Cox, Am. J. Phys. 66, 1018–1021 ~1998
• "The motorcycle as a gyroscope", J. Higbie, Am. J. Phys. 42, 701–702
• The Physics of Everyday Phenomena, W. T. Griffith, McGraw–Hill, New York, 1998, pp. 149–150.
• The Way Things Work., Macaulay, Houghton-Mifflin, New York, NY, 1989