PROFILPELAJAR.COM

במתמטיקה, ובפרט בגאומטריית חילה, גאומטריה אפינית היא גאומטריה עם נקודות וישרים, המקיימת מספר אקסיומות קבועות. הגאומטריה האפינית מכלילה כמה מהתכונות של גאומטריה אוקלידית, כאשר היא שומטת את ההגדרות של אורך וגודל של זווית.

הגדרות בסיסיות

מערכת חילה היא שלישייה סדורה $(P,L,I)$ כך ש- $P$ ו- $L$ הן קבוצות זרות המהוות קבוצת הנקודות וקבוצות הישרים בהתאמה, ו- $I\subseteq (P,L)$ הוא יחס שמשמעו נקודה על ישר או ישר העובר דרך נקודה.

מערכת חילה תקרא ליניארית אם לכל שתי נקודות $p_{1},p_{2}\in P$ כך ש- $p_{1}\neq p_{2}$ קיים ישר יחיד $l\in L$ כך ש- $(p_{1},l),(p_{2},l)\in I$ .

שלוש נקודות $p_{1},p_{2},p_{3}\in P$ ייקראו קו-ליניאריות אם קיים ישר $l\in L$ כך ש- $(p_{1},l),(p_{2},l),(p_{3},l)\in I$ .

יחס שקילות $\sim$ על $L$ ייקרא יחס הקבלה אם לכל ישר $l\in L$ ולכל נקודה $p\in P$ , קיים ישר יחיד $l'\in L$ כך ש - $(p,l')\in I$ ו- $l'\sim l$ .

תת-מערכת חילה $(P',L',I')$ תקרא סגורה להקבלה אם לכל ישר $l\in L'$ ונקודה $p\in P'$ אשר אינה על הישר, הישר המקביל ל- $l$ ועובר דרך $p$ המוגדר לפי $\sim$ שייך גם הוא ל- $L'$ .

בהינתן מערכת חילה ליניארית $(P,L,I)$ וקבוצה לא ריקה $S\subseteq P$ , תת-מערכת החילה $(P',L',I')$ תקרא המערכת הנפרסת על-ידי $S$ אם ורק אם היא מערכת החילה המינימלית המוכלת ב- $(P,L,I)$ , כך ש- $S\subseteq P'$ והיא מקיימת ליניאריות.

הגדרה

מערכת חילה $(P,L,I)$ עם יחס הקבלה $\sim$ תקרא גאומטריה אפינית אם ורק אם:

היא מערכת חילה ליניארית
כל תת-מערכת חילה הנפרסת על-ידי שלוש נקודות שאינן קו-ליניאריות, סגורה להקבלה.

המערכת תקרא מישור אפיני אם בנוסף היא עצמה נפרסת על-ידי שלוש נקודות שאינן קו-ליניאריות.

הקשר למרחבים פרויקטיביים

סילוק ישר אחד ממישור פרויקטיבי מניב מישור אפיני, ולהפך, כל מישור אפיני אפשר לשכן במישור פרויקטיבי על ידי הוספת ישר אחד (המכונה "הישר באינסוף") והרחבה מתאימה של יחס החילה. באופן כללי יותר, אם מסירים ממרחב פרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבלת גאומטריה אפיני; וכל גאומטריה אפינית מתקבלת כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם). ההתאמה בין תת-מרחבים אפיניים לתת-מרחבים פרויקטיביים מאפשרת להגדיר במרחב האפיני ממד.

מורפיזמים

העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של גאומטריה אפינית לקבוצת הנקודות של מרחב ליניארי נקראת קולינאציה אם היא מעבירה ישרים לישרים, וקולינאציה שומרת הקבלה אם ישרים מקבילים עוברים לישרים מקבילים. אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קוליניאציה שומרת תמיד הקבלה. כל קולינאציה שומרת הקבלה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. כמו כן היא שומרת תת-מרחבים אפיניים, ושומרת על בסיסים וממדים. מרחבים אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים. קולינאציה בין מרחבים פרויקטיביים משרה קולינאציה בין מרחבים אפיניים המתקבלים מהם על ידי הסרת על-מישור, ולהפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרויקטיביים שהם מגדירים.

קולינאציה שומרת הקבלה a ממרחב אפיני לעצמו היא הזזה אם יש מחלקת הקבלה שהישרים שלה נשמרים, ואין ל-a נקודות שבת (גם הזהות נקראת הזזה). קולינאציה שומרת הקבלה היא הומולוגיה אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). קולינאציה מאחד משני הסוגים האלו נקראת קולינאציה מרכזית.