גאומטריה אוקלידית

אוקלידס

הגאומטריה האוקלידית היא התורה המתמטית של נקודות, ישרים ומעגלים במישור, המבוססת על מספר אקסיומות והנחות שהציג וסיכם אוקלידס בספרו יסודות, והכללות שלה למרחב התלת-ממדי. מדידות לצרכים הנדסיים נעשו בכל רחבי העולם העתיק, ואף נעשו מספר הבחנות כגון זו שבמשפט פיתגורס, אבל רק בתרבות היוונית נבנתה עבורם מסגרת תאורטית שיטתית, שבליבה התהליך הדדוקטיבי שבו מקבלים משפט מהנחות יסוד ומשפטים קודמים.

במשך יותר מאלפיים שנה נקראה הגאומטריה האוקלידית פשוט "גאומטריה", משום שהייתה הגאומטריה היחידה. ניסיונות להוכיח את אקסיומת המקבילים מתוך שאר האקסיומות הביאו במאה ה-19 לפיתוחן של גאומטריות אלטרנטיביות, שאינן מתבססות על האקסיומה הזו, והן קרויות גאומטריות לא אוקלידיות.

גאומטריה אוקלידית נמנית עם ענפי המתמטיקה המעטים הנלמדים בבית הספר היסודי והתיכון. במסגרת זו יש המבחינים, משיקולים דידקטיים, בין גאומטריית המישור (או הנדסת המישור), העוסקת בגופים מישוריים בלבד, כגון משולש ומעגל, ובין גאומטריית המרחב (או הנדסת המרחב), העוסקת בגופים תלת-ממדיים, כגון פירמידה, קובייה וכדור.

הנחות

אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות ספרו "יסודות", ביסס את הגאומטריה המישורית על שני מונחי יסוד, ה"נקודה", וה"ישר", שאינם מוגדרים באופן מתמטי מדויק, אבל הם מקבלים את משמעותם ואת התכונות שלהם מהנחות היסוד שהם מקיימים והקשר שלהם למונחים אחרים שאוקלידס מגדיר, ביניהם ה"מעגל", ה"זווית" וה"מישור". הנקודה הישר המעגל והזווית מקיימים יחד איתם חמש הנחות:

  1. אפשר להעביר קטע ישר בין שתי נקודות.
  2. אפשר להמשיך קטע ישר ללא גבול.
  3. אפשר לתאר מעגל על-פי מרכז ורדיוס.
  4. כל הזוויות הישרות שוות ביניהן.
  5. אם שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי באופן שסכום הזויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו.

בנוסף אוקלידס מציין חמש מוסכמות, או אקסיומות, שאינן תלויות במושגים מסוימים:

  1. אלו השווים לדבר זהה שווים האחד לשני.
  2. אם שווים נוספים לשווים, הסכומים שווים.
  3. אם שווים מופחתים משווים, ההפרשים שווים.
  4. אלו החופפים אחד לשני שווים.
  5. השלם גדול מהחלק.

ההנחה החמישית שקולה לטענה כי דרך נקודה שמחוץ לישר עובר מקביל אחד ויחיד, המכונה "אקסיומת המקבילים". בניגוד לשאר ההנחות והאקסיומות, הנראות פשוטות ומובנות מאליהן, אקסיומת המקבילים נראתה למתמטיקאים לאורך ההיסטוריה פחות טבעית, והם ניסו למצוא דרך להוכיח אותה משאר ההנחות. רק במאה ה-19 הוכח שהיא בלתי ניתנת להוכחה, על ידי יצירת הגאומטריה ההיפרבולית שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא גאומטריה לא-אוקלידית, בניגוד ל"גאומטריה אוקלידית" שבה מניחים את כל חמש ההנחות.

המוסכמות וההנחות שהציע אוקלידס אינן מספיקות לביסוס של הגאומטריה במידת הקפדנות המקובלת היום; במקומן מקובל להשתמש במערכת האקסיומות של הילברט שהציע דויד הילברט בסוף המאה ה-19.

פיתוח גאומטריית המרחב דורש את מושג המישור, המאופיין בכך שדרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.

ראו גם

לקריאה נוספת

  • דיבשה אמירה, ביסוס אכסיומתי ליסודות הגאומטריה, הוצאת עם עובד ודביר, 1962
  • Euclid's Elements, "היסודות", ספרו של אוקלידס, בתרגום לאנגלית

קישורים חיצוניים

Read other articles:

本條目存在以下問題,請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。 此條目需要补充更多来源。 (2018年3月17日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目,无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者:请搜索一下条目的标题(来源搜索:羅生門 (電影) — 网页、新闻、书籍、学术、图像),以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源(判定指引)。 �...

 

Koalisi Jamaika (Jerman: Jamaika-Koalition; juga disebut dengan aliansi Jamaika, lampu lalu lintas Jamaika, lampu lalu lintas hitam) adalah istilah dalam politik Jerman yang menggambarkan kemungkinan koalisi antara Partai Kristen Demokrat dan Sosialis (CDU/CSU) yang identik dengan warna hitam, Partai Demokrat Bebas (FDP) yang identik dengan warna kuning dan Partai Hijau yang identik dengan warna hijau. Koalisi ini disebut Jamaika sebab bendera Jamaika terdiri dari gabungan tiga warna, yaitu h...

 

Devic's disease معلومات عامة الاختصاص طب الجهاز العصبي  من أنواع اعتلال نخاعي،  واعتلال عصبي بصري،  وتحلل عصبي،  وتصلب متعدد،  واضطراب مناعي،  وأمراض التهابية مزيلة للميالين في الجهاز العصبي المركزي،  ومرض عيني مكتسب نادر  [لغات أخرى]‏،  ومرض مناعي ذا�...

العلاقات المالية الموزمبيقية مالي موزمبيق   مالي   موزمبيق تعديل مصدري - تعديل   العلاقات المالية الموزمبيقية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين مالي وموزمبيق.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه المقارنة ما�...

 

1982 European Athletics Indoor ChampionshipsTrack events60 mmenwomen200 mmenwomen400 mmenwomen800 mmenwomen1500 mmenwomen3000 mmenwomen60 m hurdlesmenwomen5000 m walkmenField eventsHigh jumpmenwomenPole vaultmenLong jumpmenwomenTriple jumpmenShot putmenwomenvte The men's long jump event at the 1982 European Athletics Indoor Championships was held on 7 March.[1] Results Rank Name Nationality Results Notes Henry Lauterbach  East Germany 7.86 Rolf Bernhard  Switzerland 7.83 Gi...

 

For Norman Cook's other recordings, see Norman Cook discography. Fatboy Slim discographyCook performing at the 2013 Glastonbury Festival.Studio albums4Live albums3Compilation albums2Video albums3Music videos31EPs5Singles28Soundtrack albums1Remix albums3Mix albums6 The discography of Fatboy Slim, an alias of Norman Cook, an English DJ, big beat musician, and record producer, consists of four studio albums, three live albums, one soundtrack album, two compilation albums, three remix albums, si...

Net als toenEurovision Song Contest 1957 entryCountryNetherlandsArtist(s)Corry BrokkenLanguageDutchComposer(s)Guus JansenLyricist(s)Willy van HemertConductorDolf van der LindenFinals performanceFinal result1stFinal points31Entry chronology◄ Voorgoed voorbij (1956)Heel de wereld (1958) ► Net als toen (Dutch pronunciation: [ˌnɛt ɑls ˈtun]; Just like then) is a love song written in Dutch by Willy van Hemert, composed by Guus Jansen and performed by Corry Brokken in 1957 as the N...

 

German Army officer (1865–1937) General of the InfantryErich LudendorffLudendorff in 1915Member of the ReichstagIn office24 June 1920 – 13 June 1928ConstituencyNational listFirst Quartermaster General of the Great General StaffIn office29 August 1916 – 26 October 1918SeniorPaul von Hindenburg[a]Preceded byH. von Freytag-LoringhovenSucceeded byWilhelm Groener Personal detailsBornErich Friedrich Wilhelm Ludendorff(1865-04-09)9 April 1865Kruszewnia, Province of Po...

 

World War II escape PT-32, one of the four PT-20 class motor torpedo boats involved in the first part of the journey On 11 March 1942, during World War II, General Douglas MacArthur and members of his family and staff left the Philippine island of Corregidor and his forces, which were surrounded by the Japanese. They traveled in PT boats through stormy seas patrolled by Japanese warships and reached Mindanao two days later. From there, MacArthur and his party flew to Australia in a pair of Bo...

Jaime Fillol Nazionalità  Cile Altezza 180 cm Peso 73 kg Tennis Termine carriera 1985 Carriera Singolare1 Vittorie/sconfitte 463-324 Titoli vinti 7 Miglior ranking 14º (2 marzo 1974) Risultati nei tornei del Grande Slam  Australian Open -  Roland Garros 4T (1970, 1974, 1975, 1976)  Wimbledon 4T (1974)  US Open QF (1975) Doppio1 Vittorie/sconfitte 360-295 Titoli vinti 15 Miglior ranking 23º (22 maggio 1978) Risultati nei tornei del Grande Slam  Australian Open...

 

Jesse Plemons nel 2016 Jesse Lon Plemons (Dallas, 2 aprile 1988) è un attore statunitense. È principalmente noto per aver interpretato Todd Alquist nella serie televisiva Breaking Bad (2012-2013), ruolo ripreso nel film El Camino - Il film di Breaking Bad e Ed Blomquist in Fargo (2015). In ambito cinematografico ha collaborato con registi del calibro di Martin Scorsese in The Irishman (2019) e Killers of the Flower Moon (2023), Steven Spielberg in Il ponte delle spie (2015) e The Post (2017...

 

Cộng hòa Kyrgyzstan Tên bằng ngôn ngữ chính thức Кыргыз Республикасы (tiếng Kyrgyz)Kırgız RespublikasıКыргызская Республика (tiếng Nga)Kyrgyzskaya Respublika Quốc kỳ Huy hiệu Bản đồ Vị trí của Kyrgyzstan Vị trí của Kyrgyzstan Tiêu ngữkhông cóQuốc caКыргыз Республикасынын Мамлекеттик Гимни (Kyrgyz)Keurgeuz Respublikaseuneun Mamlekettik Gimni(tiếng Việt: Quố...

Pour les articles homonymes, voir Galerie nationale. Národní galerie v PrazeGalerie nationale de PragueEntrée du Veletržní palác, annexe des collections contemporaines de la Galerie nationale de Prague.Informations généralesNom local (cs) Národní galerie v PrazeType Musée d'art, structure de recherche (d), musée national (d)Ouverture 5 février 1796Surface 13 500 m2Visiteurs par an 282 800 (2020)Site web www.ngprague.cz/enCollectionsCollections AntiqueClassiqu...

 

ヨハネス12世 第130代 ローマ教皇 教皇就任 955年12月16日教皇離任 964年5月14日先代 アガペトゥス2世次代 レオ8世個人情報出生 937年スポレート公国(中部イタリア)スポレート死去 964年5月14日 教皇領、ローマ原国籍 スポレート公国親 父アルベリーコ2世(スポレート公)、母アルダその他のヨハネステンプレートを表示 ヨハネス12世(Ioannes XII、937年 - 964年5月14日)は、ロ...

 

Anjing pemburu Firaun Nama lain bahasa Malta: Kelb tal-Fenek Negara asal Malta Ciri-ciri Tinggi Jantan 56–64 cm[1] Betina 53–61 cm[1] Klasifikasi & standar FCI Grup Seksi {{{fcisection}}} #{{{fcinum}}} standar Anjing pemburu Firaun (bahasa Inggris: Pharaoh Hound) adalah salah satu ras anjing yang paling tua.[2][3] Asal Pharaoh Hound berasal dari Mesir Kuno, dimana pada saat itu mereka digunakan untuk berburu hewan-hewan seperti antelop.[2&#...

This is an incomplete list of lakes of Bulgaria. Image Lake Area (km2) Depth (m) Limans and lagoons Lake Atanasovsko 17 1 Lake Beloslav 4-10 14 Lake Burgas 27.6 31 Lake Durankulak 4 Lake Pomorie 8.5 1,4 Lake Shabla 0.8 4 Lake Varna 17 19 Swamps, marshes and other lakes Aldomirovtsi Marsh 1.29 Alepu 1.67 Arkutino Dragoman Marsh 4 Lake Rabisha 15 Smolyan lakes (8 lakes) 4,5 Srebarna 2 3 Ustren lake 0.15 Glacial lakes (in Pirin) Banderishki Lakes (17 lakes) 0.13 12 Bashliiski Lakes (4 lakes) 0....

 

Eight Thousand Li of Cloud and MoonNama lainTradisional八千里路雲和月Sederhana八千里路云和月MandarinBāqiān lǐ lù yún hé yuè SutradaraShi DongshanWang WeiyiDitulis olehShi DongshanPemeranBai YangTao JinSinematograferWu TingfangPenyuntingHan ZhongxiaPerusahaanproduksiKunlun Film StudioTanggal rilis 1947 (1947) Durasi124 menitBahasaMandarin Eight Thousand Li of Cloud and Moon adalah sebuah film Tiongkok tahun 1947 garapan Shi Dongshan dan Wang Weiyi, yang menampil...

 

هذه المقالة بحاجة لصندوق معلومات. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة صندوق معلومات مخصص إليها. جزء من سلسلة مقالات حولأنظمة العد نظام العد الهندي العربي نظام العد الهندي العربي عربية عربية مشرقية بنغالية غورموخية Indian سنهالية تاميليّة باليّة بورميّة زونخايّة غوجاراتي...

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Front Porch Republic – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2014) (Learn how and when to r...

 

Ontario Hockey League team in Peterborough Peterborough PetesCityPeterborough, OntarioLeagueOntario Hockey LeagueConferenceEasternDivisionEastFounded1956 (1956)–57Home arenaPeterborough Memorial CentreColoursMaroon, black, cream, white        General managerMike OkeHead coachRob WilsonAffiliateLindsay MuskiesWebsitewww.gopetesgo.comFranchise history1951–1954Kitchener Greenshirts1954–1956Kitchener Canucks1956–presentPeterborough PetesChampionshipsPlayoff c...