למד תורה אצל אביו והחזיק בביתו את כתביו. כשהיה בן 17, על פי הצעת רבו של אביו הרב יהושע לייב דיסקין, נפגש עם חיה לאה בת ר' אליהו סטרצלר מאיישישוק אף שהייתה רק בת 15. אביה חשש מהריונה בגיל צעיר וקיבל את הבטחת הרב דיסקין שהכל יהיה כשורה, לאחר 4 שנים נולד בנם משה אליעזר. החתונה הייתה בביתו של הרב דיסקין בניסןתר"ן.
הרב בן ציון אברהם התמקד בלימוד התורה, ואף תורת הנסתר והיה מבאי בית הכנסת בית אל, שם התפללו מקובלי של ירושלים. המסורת אודותיו מספרת שהיה כה שקוע בלימודיו עד שלא הכיר צורת מטבע.
על פי תלמידיו, הצטיין במיוחד במדות טובות ובין אדם לחברו. הקפיד מאוד תמיד ללמד זכות אף על הגרוע ביותר, ונזהר מאוד שלא לשמוע רעה, ובטח לא על רבנים גדולים. היה חברו של הרב יעקב משה חרל"פ שהיה תלמידו של אביו, אך היה חבר ב"אגודת הקודש" שהתנגדה לרעיון שהרב קוק ישמש כרבה של ירושלים.
הקפיד שלא לצאת מהעיר העתיקה, זולת כשהלך בקביעות לביתו של הרב חרל"פ. היה ידוע בירושלים ככתובת לברכות ושיתפלל בכותל המערבי. כך נהג גם האדמו"ר בעל המנחת אלעזר כשהגיע בשנת 1930 לביקור של שבועיים, כדי לפגוש את המקובל הרב שלמה אליעזר אלפנדרי.
חסידי מונקאטש סיפרו שבחזרתו עשה רבם לרבי בן ציון מי שבירך כשעלה לתורה.
בעת הלווית אביו באלולתרס"ו, כשחזר לביתו, ראה שאבד לו הקמיע, משכך עלה לקבר אביו ביום השבעה ומאז פסק בהנהגה של הכהונה.
