כדי לקבל ניסיון בעמדת השוער הראשון, קונסילי הושאל מאטאלנטה לקבוצת סמבנדטסה מהליגה השלישית בעונת 2006/2007. עונה לאחר מכן הושאל לקבוצת הסרייה ב', רימיני. לאחר עונות ההשאלה המוצלחות חזר קונסילי לאטלנטה בתור שוערה הראשי.
ב-1 בספטמבר 2014 לאחר 8 עונות באטלנטה, קונסילי חתם בססואולו בעבור שלושה מיליון אירו.
נבחרת איטליה
קונסילי היה השוער הלאומי בגילאים 16 עד 23 ואף רשם הופעה בודדת בנבחרת האולימפית ב-2008. הוא זומן לראשונה לסגל של הנבחרת הבוגרת ב-15 באוגוסט 2012 על ידי המאמן דאז, צ'זרה פראנדלי, למשחק ידידות נגד אנגליה.
