אלן בוש נולד בדאלוויץ', לונדון. בשנים 1918 עד 1922 למד באקדמיה המלכותית למוזיקה, אצל פרדריק קורדר (הלחנה) וטוביאס מאטאי (פסנתר). בהמשך למד מוזיקולוגיה ופילוסופיה אצל יוהנס וולף ופרידריך בלומיין באוניברסיטה של ברלין (1929 - 1931), וכן, בשנים 1927 עד 1932, קיבל שיעורים בהלחנה מג'ון איירלנד. בוש השתלם בנגינה בפסנתר אצל בנו מויסייביץ' וארטור שנאבל. בשנת 1931 נשא לאישה את ננסי הד, אחותו הצעירה של חברו ללימודי ההלחנה, מייקל הד. ננסי הד כתבה לבריות לשלוש מארבע האופרות שלו באורך מלא, שלוש אופרות לילדים ויצירות אחרות.
בין השנים 1925 ל-1978 לימד בוש באקדמיה המלכותית למוזיקה. בין יצירותיו בתקופה זו הייתה "מנחה לוויליאם שטרנדייל בנט". במהלך לימודיו האקדמיים, בייחוד בברלין, יצר קשרים עם אמנים סוציאליסטים ממסורות שונות, כדוגמת ברטולט ברכט, קורט וייל והנס אייזלר.
באפריל 1940 ניצח בוש על הבכורה הבריטית של הקונצ'רטו לפסנתר ברה במול מז'ור מאת אראם חאצ'טוריאן עם הפסנתרניתמורה לימפאני. לימפאני, הסכימה לבצע את היצירה לאחר שקליפורד קרזון סירב להצעתו של המנצח אדוארד קלארק, וזאת אף על פי שהפרטיטורה הייתה עדיין בכתב יד והיה לה רק חודש אחד ללמוד את היצירה. קלארק היה מנצח ולשעבר מפיק רב-השפעה בבי.בי.סי., אולם במקרה זה פעל כחבר באגודה לקשרי תרבות עם ברית המועצות. בוש היה מיודד מזה כמה שנים עם קלארק, שהיה גם הוא בעל השקפות שמאלניות אך לא הזדהה כקומוניסט בדומה לבוש. בשנת 1930 הקדיש בוש את יצירתו "אוברטורה למחול" לתזמורת צבאית לאדוארד קלארק.[1]
בוש נודע בתמיכתו הגלויה ועזת-הפנים במרקסיזם. הוא כיהן כמנצח המקהלה של מפלגת הלייבור הלונדונית וב-1936 היה שותף לייסוד אגודת המוזיקה של הפועלים, ובהמשך נשיא האגודה. בוש חיבר את המוזיקה למקהלה ב"חזיון העבודה" (Pageant of Labour) בקריסטל פאלאס באוקטובר 1934 וניצח עליה.[2]. השפעה זו ניכרת בעוד רבות מיצירותיו, לרבות האופרות "ואט טיילר" (1948-50) ו"אנשי בלקמור" (1954-55), ובקונצ'רטו לפסנתר, הכולל דקלום טקסט קומוניסטי בפי מקהלת גברים בפרק האחרון. אמברגו שידור שהוטל על חותמים לוועידה העממית בשנת 1941 וכלל את בוש הוביל לסירובו של רלף ווהן ויליאמס לתת זכויות שידור ליצירה חדשה כפעולת מחאה, אף כי לא היה שותף להשקפותיה הפוליטיות של הקבוצה.
יצירותיו כוללות גם ארבע סימפוניות (מס' 1 בדו מז'ור; מס' 2 "הנוטינגהם"; מס' 3, "סימפוניית ביירון" ומס' 4, סימפוניית לאסקו"); "וריאציות, נוקטורן ופינאלה על שיר ים אנגלי", אופוס 60, לפסנתר ותזמורת; ו"שירי הנידונים".