PROFILPELAJAR.COM

בפיזיקה, אינטראקציית שחלוף (Exchange Interaction) היא אפקט מכני קוונטי הפועל בין חלקיקים זהים ומחליף ביניהם. לעיתים, היא מוגדרת כ"אנרגיית שחלוף", או פשוט כ"שחלוף", כדי להימנע מהרעיון השגוי שאפקט זה נובע מכוח או פוטנציאל קלאסי.

עבור חלקיקים שלא ניתן להבחין ביניהם (זהים) מתקיימת סימטריה לשחלוף (Exchange symmetry) של פונקציית הגל. כלומר, כאשר שני חלקיקים כאלה מוחלפים, פונקציית הגל נותרת ללא שינוי (פונקציית גל סימטרית) או משנה סימן (פונקציית גל אנטי-סימטרית). גם בוזונים וגם פרמיונים יכולים לקיים אינטראקציית שחלוף בינם לבין עצמם. עבור פרמיונים, האינטראקציה נקראת גם דחיית פאולי וקשורה לעקרון האיסור של פאולי. לבוזונים, האינטראקציה לובשת צורה של משיכה אפקטיבית שגורמת לחלקיקים זהים להימצא קרוב אחד אל האחר, כמו בעיבוי בוז-איינשטיין.

אינטראקציית שחלוף משנה את ערך התצפית של המרחק בין חלקיקים זהים כאשר פונקציות הגל של החלקיקים חופפות. השחלוף מגדיל (עבור פרמיונים) או מקטין (עבור בוזונים) את ערך התצפית של המרחק בין חלקיקים זהים, ביחס לחלקיקים שניתנים להבחנה ביניהם.^[1] בין יתר ההשלכות, אחראית אינטרקאציית השחלוף לפרומגנטיות ולנפח של החומר. אין לה אנלוגיה במכניקה הקלאסית.

האפקטים השונים של אינטראקציית שחלוף התגלו באופן עצמאי על ידי כל אחד מהפיזיקאים ורנר הייזנברג^[2] ופול דיראק^[3] ב-1926.

תיאור ה"כוח"

לפעמים אינטראקציית שחלוף נקראת כוח שחלוף. עם זאת, אינטראקציית שחלוף היא אפקט מכני קוונטי גרידא ואינה מתארת כוח אמיתי. כמו כן, אין להחליף בינה לבין כוחות שחלוף הנוצרים על ידי שחלוף בין נושאי כוח (בוזוני כיול), דוגמת הכוח האלקטרומגנטי הנוצר בין שני אלקטרונים על ידי חילופי פוטון, או הכוח החזק בין שני קוורקים הנוצרים על ידי חילופי גלואון.^[4]

אופרטור השחלוף

לצורך תיאור קוונטי של אינטראקציית השחלוף, ניתן לבנות אופרטור המתאר החלפה של שני חלקיקים. אופרטור השחלוף (Exchange operator) יכול לייצג החלפה אמיתית של שני חלקיקים בתהליך אדיאבטי המשמר את המיקומים של כל שאר החלקיקים, אך בדרך כלל נתייחס לאופרטור כשאלה מה יקרה אם נחליף, גם ללא החלפה בפועל.

סימטריית השחלוף מכריחה את האופרטור להיות אוניטרי. בנוסף על כך:

{\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle

{\hat {P}}^{2}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle ={\hat {P}}\left|x_{2},x_{1}\right\rangle =\left|x_{1},x_{2}\right\rangle

ולכן ${\hat {P}}$ הוא לא רק אוניטרי אלא גם בעל שורש שווה ל-1, מה שמשאיר רק שתי אפשרויות:

{\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\pm \left|x_{2},x_{1}\right\rangle

בהתאם לשתי אפשרויות אלה, חלקיקים קוונטיים מכניים מסווגים כבוזונים או כפרמיונים. משפט ספין-סטטיסטיקה של תורת השדות הקוונטית אומר שכל החלקיקים בעלי ספין חצי שלם מתנהגים כמו פרמיונים וכל החלקיקים בעלי ספין שלם מתנהגים כמו בוזונים. בוזונים רבים יכולים לאכלס את אותו מצב קוונטי. לעומת זאת, לפי עקרון האיסור של פאולי, שני פרמיונים אינם יכולים לאכלס את אותו מצב. מאחר שלאלקטרונים יש ספין 1/2, הם פרמיונים. משמעות הדבר היא כי פונקציית הגל הכוללת של מערכת חייבת להיות אנטי סימטרית כאשר שני אלקטרונים משוחלפים, כלומר החלפה פנימית ביחס לקואורדינטות המרחב והספין.

אינטראקציות שחלוף בין מומנטים מגנטיים מקומיים

שחלוף של קואורדינטות מרחביות

במערכת דמוית מולקולת מימן (כלומר אחד עם שני אלקטרונים), אפשר לבנות מודל מצב קוונטי עבור כל אלקטרון בהנחה שהאלקטרונים מתנהגים באופן עצמאי, ושפונקציות הגל המרחביות של 2 האלקטרונים $\Phi _{a}(r_{1})$ ו- $\Phi _{b}(r_{2})$ בהתאמה הן אורתוגונליות אחת לשנייה ותואמות את המצב האנרגטי או את רמת האנרגיה של האלקטרון אליו הן משויכות. לאור הנחות אלו, אפשר לבנות את פונקציית הגל הכוללת של המערכת על ידי שימוש בקומבינציה אנטי סימטרית של מכפלת פונקציות הגל המרחביות של 2 האלקטרונים:

\Psi _{A}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}[\Phi _{a}({\vec {r}}_{1})\Phi _{b}({\vec {r}}_{2})-\Phi _{b}({\vec {r}}_{1})\Phi _{a}({\vec {r}}_{2})]\quad (1)

לחלופין, ניתן להשתמש בקומבינציה סימטרית של מכפלת פונקציות הגל המרחביות של 2 האלקטרונים כדי לבנות את פונקציית הגל הכוללת של המערכת:

\Psi _{S}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}[\Phi _{a}({\vec {r}}_{1})\Phi _{b}({\vec {r}}_{2})+\Phi _{b}({\vec {r}}_{1})\Phi _{a}({\vec {r}}_{2})]\quad (2)

כאשר מתייחסים לאינטראקציית השחלוף במערכת דמוית מולקולת המימן כהפרעה, ההמילטוניאן הכללי ע"פ תורת ההפרעות מוגדר כך:

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{(0)}+{\mathcal {H}}^{(1)}

כאשר:

{\mathcal {H}}^{(0)}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2}\right)-{\frac {e^{2}}{r_{1}}}-{\frac {e^{2}}{r_{2}}}

{\mathcal {H}}^{(1)}=\left({\frac {e^{2}}{R_{ab}}}+{\frac {e^{2}}{r_{12}}}-{\frac {e^{2}}{r_{a1}}}-{\frac {e^{2}}{r_{b2}}}\right)

מכאן, ניתן למצוא את 2 הערכים העצמיים עבור אנרגיית המערכת:

E_{+/-}=E_{(0)}+{\frac {C\pm J_{ex}}{1\pm B^{2}}}\quad (3)

כאשר, $E_{+}$ היא הפתרון עבור פונקציית הגל המרחבית הסימטרית ואילו $E_{-}$ היא הפתרון עבור פונקציית הגל המרחבית האנטי-סימטרית. דרך אחרת היא חישוב באמצעות חשבון וריאציות, הנותן תוצאות דומות. ${\mathcal {H}}$ ניתן ללכסון על ידי פונקציות מיקום-מרחב הניתנות על ידי משוואות $(1)$ ו- $(2)$ . במשוואה $(3)$ , $C$ הוא אינטגרל קולון, $B$ הוא אינטגרל החפיפה ו- $J_{ex}$ הוא אינטגרל השחלוף. אינטגרלים אלה מוגדרים באופן הבא:

C=\int \Phi _{a}({\vec {r}}_{1})^{2}\left({\frac {1}{R_{ab}}}+{\frac {1}{r_{12}}}-{\frac {1}{r_{a1}}}-{\frac {1}{r_{b2}}}\right)\Phi _{b}({\vec {r}}_{2})^{2}\,d^{3}r_{1}\,d^{3}r_{2}\quad (4)

B=\int \Phi _{b}({\vec {r}}_{2})\Phi _{a}({\vec {r}}_{2})\,d^{3}r_{2}\quad (5)

J_{ex}=\int \Phi _{a}^{}({\vec {r}}_{1})\Phi _{b}^{}({\vec {r}}_{2})\left({\frac {1}{R_{ab}}}+{\frac {1}{r_{12}}}-{\frac {1}{r_{a1}}}-{\frac {1}{r_{b2}}}\right)\Phi _{b}({\vec {r}}_{1})\Phi _{a}({\vec {r}}_{2})\,d^{3}r_{1}\,d^{3}r_{2}\quad (6)

הביטויים בסוגריים במשוואות $(4)$ ו- $(6)$ מתאימות לדחיית פרוטון-פרוטון ( $R_{ab}$ ), דחיית אלקטרון-אלקטרון ( $r_{12}$ ), ומשיכת אלקטרון-פרוטון ( $r_{a1/a2/b1/b2}$ ). כמו כן, מניחים כי כל הגדלים הנזכרים הם ממשיים.

על אף שעבור מולקולת מימן אינטגרל השחלוף $(6)$ הוא שלילי, הייזנברג הציע שהוא משנה סימן ביחס קריטי מסוים בין המרחק הפנים-אטומי לבין הקצה הממוצע של רדיוס המסלול האטומי.^[5]^[6]^[7]

הכללת ספין

הקומבינציות האנטי סימטרית והסימטרית במשוואות $(1)$ ו- $(2)$ בהתאמה, אינן כוללת את משתני הספין ( $\alpha =\uparrow$ (ספין חיובי (ספין "מעלה")) ו- $\beta =\downarrow$ ספין שלילי (ספין "מטה")). ישנן גם קומבינציות סימטרית ואנטי סימטרית של משתני הספין עבור כל 2 אלקטרונים:

\alpha (1)\beta (2)\pm \alpha (2)\beta (1)\quad (7)

על מנת לקבל את פונקציית הגל הכוללת האנטי סימטרית, קומבינציות הספין האלו צריכות להיות משולבות עם משוואות $(1)$ ו- $(2)$ .פונקציות הגל הכוללות המתקבלות, המכונות אורביטלי - ספין, נכתבות כדטרמיננטות סלייטר (למעשה, כמכפלת פונקציות הגל המרחביות והספיניות). כאשר פונקציית הגל האורביטלית היא סימטרית $(2)$ ,פונקציית הגל הספינית חייבת להיות אנטי סימטרית (משוואה $(7)$ בסימן $-$ ), ולהפך. בהתאם לכך, $E_{+}$ תואמת את הפתרון המרחבי הסימטרי / סינגלט-ספין ו- $E_{-}$ תואמת לפתרון המרחבי האנטי סימטרי/ טריפלט-ספין.

ג'ון הסברוק ואן ואלק הציג את הניתוח הבא:^[8]

האנרגיה הפוטנציאלית של אינטראקציה בין שני אלקטרונים באורביטלים מאונכים יכולה להיות מיוצגת על ידי מטריצה, $E_{ex}$ .ממשוואה $(3)$ מתקבלים הערכים האופייניים של מטריצה זו: $C\pm J_{ex}$ . בנוסף לזאת, הערכים האופייניים לריבוע גודל וקטור הספין התוצאתי, $({\vec {s}}_{a}+{\vec {s}}_{b})^{2}$ , הם $S(S+1)$ .

הערכים האופייניים של כל אחת מהמטריצות ${\vec {s}}_{a}^{\;2}$ ו- ${\vec {s}}_{b}^{\;2}$ הם ${\tfrac {1}{2}}({\tfrac {1}{2}}+1)={\tfrac {3}{4}}$ ו- $({\vec {s}}_{a}+{\vec {s}}_{b})^{2}={\vec {s}}_{a}^{\;2}+{\vec {s}}_{b}^{\;2}+2{\vec {s}}_{a}\cdot {\vec {s}}_{b}$ .

הערכים האופייניים של המכפלה הסקלרית ${\vec {s}}_{a}\cdot {\vec {s}}_{b}$ הם ${\tfrac {1}{2}}(0-{\tfrac {6}{4}})=-{\tfrac {3}{4}}$ ו- ${\tfrac {1}{2}}(2-{\tfrac {6}{4}})={\tfrac {1}{4}}$ , התואמים את מצבי הסינגלט ( $S=0$ ) והטריפלט ( $S=1$ ).

ממשוואה $(3)$ ומהיחסים הנזכרים לעיל נובע כי ל- $E_{ex}$ יש ערך אופייני של $C+J_{ex}$ כאשר למכפלה ${\vec {s}}_{a}\cdot {\vec {s}}_{b}$ יש ערך אופייני של $-{\tfrac {3}{4}}$ (כלומר, כאשר $S=0$ , המצב המרחבי הסימטרי/סינגלט-ספין).

לחלופין, ל- $E_{ex}$ יש ערך אופייני של $C-J_{ex}$ כאשר למכפלה ${\vec {s}}_{a}\cdot {\vec {s}}_{b}$ יש ערך אופייני של ${\tfrac {1}{4}}$ (כלומר, כאשר $S=1$ , המצב המרחבי האנטי-סימטרי/טריפלט-ספין).

מכאן, נובע כי:

$E_{ex}-C+{\frac {1}{2}}J_{ex}+2J_{ex}{\vec {s}}_{a}\cdot {\vec {s}}_{b}=0\quad (8)$

ולכן:

$E_{ex}=C-{\frac {1}{2}}J_{ex}-2J_{ex}{\vec {s}}_{a}\cdot {\vec {s}}_{b}\quad (9)$

דיראק ציין כי התכונות הקריטיות של אינטראקציית שחלוף ניתנות להשגה באופן יסודי על ידי הזנחת 2 האיברים הראשונים בצד ימין של משוואה $(9)$ , ובכך להחשיב את שני האלקטרונים כצימוד של הספינים שלהם על ידי פוטנציאל מהצורה הבאה:

\ -2J_{ab}{\vec {s}}_{a}\cdot {\vec {s}}_{b}\quad (10)

מכך ניתן להסיק כי ההמילטוניאן של אינטראקציית שחלוף בין 2 אלקטרונים באורביטלים מרחביים $\Phi _{a}$ ו- $\Phi _{b}$ מובע במונחי מומנטי הספין שלהם ${\vec {s}}_{a}$ ו- ${\vec {s}}_{b}$ . המילטוניאן זה נקרא מודל הייזנברג או המילטוניאן דיראק-הייזנברג:

{\mathcal {H}}_{\mathrm {Heis} }=-2J_{ab}{\vec {s}}_{a}\cdot {\vec {s}}_{b}\quad (11)

כאשר, $J_{ab}$ אינו בהכרח זהה או שווה לערך $J_{ex}$ שבמשוואה $(6)$ . $J_{ab}$ אשר נקרא קבוע השחלוף, מחושב על פי משוואות $(4)$ , $(5)$ ו- $(6)$ :

\ J_{ab}={\frac {1}{2}}(E_{+}-E_{-})={\frac {J_{ex}-CB^{2}}{1-B^{4}}}\quad (12)

למרות האמור לעיל, כאשר 2 האורביטלים בהם נמצאים 2 האלקטרונים מאונכים זה לזה ( $B=0$ ), לדוגמה באורביטלים שונים באותו אטום, אז מתקיים $\ J_{ab}=J_{ex}$ .

אפקטי שחלוף

ממשוואה $(11)$ נובע שכאשר קבוע השחלוף, $J_{ab}$ , הוא בעל ערך חיובי, המערכת תעדיף להיות במצב האנרגטי שבו ל-2 האלקטרונים יש ספינים מקבילים (בכיוון) שכן זהו המצב האנרגטי בעל הערך הנמוך ביותר דהיינו רמת היסוד. זהו הגורם העיקרי לתופעת הפרומגנטיות בחומרים שבהם האלקטרונים/הספינים נחשבים כקשורים לאטום (לא חופשיים) כמו במודל הייטלר-לונדון, אך למודל זה של פרומגנטיזם יש מגבלות בחומרים מוצקים. כאשר קבוע השחלוף, $J_{ab}$ , הוא בעל ערך שלילי, המערכת תעדיף להיות במצב האנרגטי שבו ל-2 האלקטרונים יש ספינים הפוכים (בכיוון) שכן זהו המצב האנרגטי בעל הערך הנמוך ביותר (רמת היסוד), מה שפוטנציאלית גורם לאנטי פרומגנטיזם. סימנו של קבוע השחלוף, $J_{ab}$ , נקבע במקור על ידי היחס בין הגדלים $J_{ex}$ והמכפלה $CB^{2}$ . ניתן להגיע למסקנה זו מהביטוי לפער בין האנרגיות של מצבי הסינגלט והטריפלט:

\ E_{-}-E_{+}={\frac {2(CB^{2}-J_{ex})}{1-B^{4}}}\quad (13)

אמנם השלכות או תוצאות אלה של אינטראקציית שחלוף הן מגנטיות בטבען, אך הסיבה להן היא לא מגנטית בטבעה; הסיבה העיקרית לקיומו של השחלוף נובעת מדחייה חשמלית ועקרון האיסור של פאולי ואכן, באופן כללי, הגודל של האינטראקציה המגנטית הישירה בין 2 אלקטרונים (בשל המומנטים הדיפולים המגנטיים שלהם) הוא זניח וקטן בהשוואה לגודל האינטראקציה החשמלית ביניהם.

רוב אינטראקציות שחלוף הן קצרות טווח ומוגבלות לאלקטרונים באורביטלים שונים באותו אטום (שחלוף פנים אטומי) או לאלקטרונים באורביטלים של האטומים השכנים הקרובים ביותר. אינטראקציות אלה נקראות אינטראקציות שחלוף ישיר. לעומת זאת, אינטראקציות שחלוף ארוכות טווח יכולות להתרחש דרך אלקטרונים באטומים מתווכים מסוג שונה. אינטראקציות אלה נקראות אינטראקציות שחלוף על (superexchange).

אינטראקציות שחלוף ישיר במוצקים

בגביש, הכללה של המילטוניאן הייזנברג באופן בו הסכום נעשה עבור שחלוף של כל זוג אלקטרונים/ספינים $(i,j)$ של מערכת רב אלקטרונית נותנת את הביטוי הבא:

{\mathcal {H}}_{\mathrm {Heis} }={\frac {1}{2}}(-2J\sum _{i,j}{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j})=-\sum _{i,j}J{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}\quad (14)

כאשר, גורם ה- ${\frac {1}{2}}$ במשוואה נובע מכך שהאינטראקציה בין אותם שני ספינים נספרת פעמיים בביצוע הסכומים. כמו כן קבוע השחלוף במשוואה $J$ , שווה לקבוע השחלוף $J_{ab}$ ולא לאינטגרל השחלוף, $J_{ex}$ . אינטגרל השחלוף קשור לגודל אחר הנקרא קבוע קשיחות השחלוף, $A$ , שמשמש כמאפיין של חומרים פרומגנטיים. גודל נקבע על פי מבנה הסריג:

עבור סריג קובייתי פשוט (SC) עם קבוע סריג $a$ :

A_{SC}={\frac {J_{ex}S^{2}}{a}}\quad (15)

עבור סריג ממורכז גוף (BCC):

A_{BCC}={\frac {2J_{ex}S^{2}}{a}}\quad (16)

עבור סריג ממורכז פאה (FCC):

A_{FCC}={\frac {4J_{ex}S^{2}}{a}}\quad (17)

הצורה של משוואה $(14)$ מתאימה באופן זהה למודל איזינג (הסטטיסטי המכני) של פרומגנטיות אלא שבמודל אייזינג, במקום מכפלת וקטורי הספין ${\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}$ קיימת מכפלת סקלרים ${S_{i}}{S_{j}}$ . מודל אייזינג נהגה לראשונה על ידי היינריך לנץ ב-1920 ונפתר למקרה החד־ממדי על ידי תלמידו לדוקטורט ארנסט איזינג ב-1925. האנרגיה של מודל איזינג מוגדרת להיות:

E=-\sum _{i\neq j}J_{ij}S_{i}^{z}S_{j}^{z}\quad (17)

מגבלות של המילטוניאן הייזנברג ומודל האלקטרונים הקשורים בחומר מוצק

היות שהמילטוניאן הייזנברג מניח שהאלקטרונים המעורבים באינטראקציית השחלוף קשורים לאטום (בהקשר של מודל הייטלר-לונדון, או תאוריית הקשר הערכי) זה מודל הולם להסברת התכונות מגנטיות של מוצקים שאינם מולקולריים בעלי בידוד חשמלי יוני או קוולנטי צר סרט שבהם תמונה זו היא סבירה. עם זאת, הערכות תאורטיות של אינטגרל השחלוף, $J_{ex}$ למוצקים שאינם מולקולריים המציגות מוליכות מתכתיות שבה האלקטרונים האחראים לפרומגנטיות הם נודדים (itinerant; למשל ברזל, ניקל, קובלט) נותנים ערכים קטנים מדי או בעלי סימן שגוי של קבוע השחלוף במשוואה $(14)$ , $J$ (למשל כפי שהוערך מטמפרטורות קירי באמצעות T_C ≈ 2⟨J⟩ / 3k_B כאשר ⟨J⟩ היא אינטראקציית השחלוף הממוצעת עבור כל המיקומים האפשריים של האלקטרונים).לכן, מודל הייזנברג לא יכול להסביר את הפרומגנטיות אשר נצפתה בחומרים אלה.^[9]

עבור מקרים אלה, מודל של אלקטרונים לא קשורים, או מודל הונד-מליקן-בלוך (אורביטל/פס מולקולרי), עבור פונקציות הגל של האלקטרונים הוא מציאותי יותר. בהתאם לכך, מודל סטונר של הפרומגנטיות ישים יותר. במודל סטונר, המומנט המגנטי של הספין (ביחדות של מגנטון בוהר) לכל אטום בפרומגנט ניתן על ידי ההפרש בין מספר האלקטרונים הנמצאים במצב אנרגטי ספין "מעלה" לבין מספר האלקטרונים הנמצאים במצב אנרגטי ספין "מטה".

עם זאת, בפרומגנטים עם מומנט מגנטי ספיני $\mu _{S}=-g\mu _{B}[S(S+1)]^{1/2}$ כאשר g = 2.0023 ≈ 2, המודל נוטה להעריך יתר על מידה את המומנט המגנטי הספיני הכולל לכל אטום.

לדוגמה, מודל סטונר מנבא רשת של מומנט מגנטים של $0.54\mu _{B}$ לכל אטום לניקל מתכת, ערך קרוב מאוד ל- $0.61\mu _{B}$ הערך המחושב ע"פ ערכי המדידה של הרוויה המגנטית, הצפיפות, והמשקל האטומי של המתכת.^[10] בניגוד לכך, אטום Ni בודד (תצורה אלקטרונית = 3d⁸4s²) בשדה גבישי קובייתי יכיל שני אלקטרונים עם אותו הספין (ומכאן, ${\vec {S}}=1$ על פי מודל סטונר יהיה לאטום זה מומנט מגנטי ספיני כולל של $\mu _{S}=2.83\mu _{B}$ בעוד שהמומנט המגנטי הספיני הכולל הנמדד לאורך ציר אחד ניתן על ידי ${\vec {\mu _{S}}}=g\mu _{B}{\vec {S}}=2\mu _{B}$ .

באופן כללי, האלקטרונים בפסי הערכיות או בתת הקליפות האלקטרוניות s ו-p הם נודדים, האלקטרונים בתת-הקליפה האלקטרונית 4f הם ממוקמים ואילו האלקטרונים בתת-קליפות 5f 3d/4d נמצאים במצב ביניים בין ממוקמים לנודדים, בהתאם למרחקים פנים-גרעיניים מסוימים.^[11] במקרה של חומרים שבהם תורמים לתכונות המגנטיות גם אלקטרונים ממוקמים וגם אלקטרונים נודדים, כגון בחצאי מוליכים פרומגנטיים השייכים לקבוצת ה"יסודות הנדירים" (הנמצאים בעיקר בקרום כדור הארץ ומכאן שמם "rare earth") כגון תרכובות אירופיום, במיוחד אירופיום חמצני,^[12] מודל RKKY הוא המנגנון המקובל החל מסוף המאה ה-20.

ראו גם

קישורים חיצוניים

Exchange Mechanisms
Exchange Interaction and Energy
Exchange Interaction and Exchange Anisotropy (אורכב 30.03.2015 בארכיון Wayback Machine)

הערות שוליים

^ David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Second Edition, pp. 207–210
^ W. Heisenberg, 38, Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, יוני 1926, עמ' 411–426
^ P. A. M. Dirac, Series A 112, On the Theory of Quantum Mechanics, Proceedings of the Royal Society of London, אוקטובר 1926, עמ' 661—677
^ Georgia State University, Exchange Forces, HyperPhysics, ‏יוני 2007 (באנגלית)
^ Rebecca Hihinashvili, Derivation of the Heisenberg Hamiltonian, ‏2 באוקטובר 2007 (באנגלית)
^ Robert M. White, 2.2.7, Quantum Theory of Magnetism: Magnetic Properties of Materials, Berlin: Springer-Verlag, 2007, ISBN 3-540-65116-0
^ J. H. van Vleck, 76, The Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities, כרך XII, London: Oxford University Press, 1932
^ Van Vleck, J. H, Electric and Magnetic Susceptibilities, Oxford, Clarendon Press, 1932, עמ' 318
^ Stuart, R. and Marshall, W, Direct Exchange in Ferromagnets, Phys. Rev. 120, 1960, עמ' 353
^ Elliot, S. R, The Physics and Chemistry of Solids, John Wiley & Sons, New York,, 1998, עמ' 615
^ J. B. Goodenough, Magnetism and the Chemical Bond, Interscience Publishers, New York,, 1966, עמ' 5–17
^ S. Burg, V. Stukalov, and E. Kogan, On the theory of indirect exchange in EuO, Phys. Status Solidi B 249, John Wiley & Sons, 2012, עמ' 847-853