באנליזה מרוכבת, למת האומדן, הידועה גם בשם אי-שוויון ML, היא לֶמה הנותנת חסם עליון לאינטגרל מסילתי. החסם מאפשר לחסום אינטגרלים, למשל לצורך החישובים הנדרשים במשפט השארית.

אם ${\displaystyle f}$ היא פונקציה מרוכבת רציפה על המסילה ${\displaystyle \Gamma }$ ואם המודול שלה ${\displaystyle |f(z)|}$ חסום על ידי הקבוע ${\displaystyle M}$ עבור כל ${\displaystyle z}$ על ${\displaystyle \Gamma }$, אז:

כאשר ${\displaystyle \ell (\Gamma )}$ הוא אורך הקשת של ${\displaystyle \Gamma }$. בפרט, ניתן לקחת את המקסימום ${\displaystyle M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)|}$ כחסם עליון.

טענת הלמה אינה מפתיעה. אם מקרבים את המסילה כאיחוד סופי של קטעים קטנים, אז המקסימום של הערכים בקטעים אלה אינו רחוק מהחסם ${\displaystyle M}$ על המסילה. לפיכך, אם מבצעים אינטגרל של המקסימום על פני כל המסילה, אז האינטגרל של ${\displaystyle f(z)}$ על המסילה חייב להיות קטן ממנו או שווה לו.

באופן פורמלי ניתן להראות שאי-השוויון מתקיים באמצעות הגדרת האינטגרל הקווי, אי-שוויון המשולש האינטגרלי והנוסחה עבור אורך עקומה כדלקמן:

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)dz\right|=\left|\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)dt\right|\leq \int \limits _{\alpha }^{\beta }|f(\gamma (t))||\gamma '(t)|dt\leq \int \limits _{\alpha }^{\beta }M\left|\gamma '(t)\right|dt=M\int \limits _{\alpha }^{\beta }|\gamma '(t)|dt=M\,\ell (\Gamma )}$

בעיה – חשבו את האינטגרל ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}dx}$.

פתרון – במקום לחשב את האינטגרל בגבולות המבוקשים, נקרב את ${\displaystyle \int _{-a}^{a}{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}dx}$ ונשאיף את ${\displaystyle a}$ לאינסוף. לשם כך נשלים את קטע האינטגרציה למסילה סגורה, על ידי הוספת חצי המעגל ${\displaystyle |z|=a}$ מ-${\displaystyle z=a}$ לכיוון ${\displaystyle z=-a}$ (נגד כיוון השעון). את חצי המעגל הזה נסמן ב-${\displaystyle \Gamma }$.

לפי משפט השארית, האינטגרל הזה שווה ל-${\displaystyle 2\pi i}$ כפול סכום השאריות בכל נקודות הסינגולריוּת. הסינגולריות היחידה של הפונקציה בתוך המסילה היא בנקודה ${\displaystyle z=i}$. אפשר לפתח לטור לורן ${\displaystyle {\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}={\frac {-1}{4}}(z-i)^{-2}+{\frac {-i}{4}}(z-i)^{-1}+{\frac {3}{16}}+{\frac {i}{8}}(z-i)-{\frac {5}{64}}(z-i)^{2}+\dots }$; ומכאן שהשארית, שהיא המקדם של ${\displaystyle (z-i)^{-1}}$, שווה ל-${\displaystyle {\frac {-i}{4}}}$. מכאן נובע שהאינטגרל על פני כל המסילה הוא ${\displaystyle (\int _{-a}^{a}+\int _{\Gamma }){\frac {dz}{(z^{2}+1)^{2}}}=2\pi i{\frac {-i}{4}}={\frac {\pi }{2}}}$.

אורכו של מסלול האינטגרציה הוא חצי היקף מעגל שרדיוסו ${\displaystyle a}$, ומכאן ${\displaystyle \ell (\Gamma )={\tfrac {1}{2}}(2\pi a)=\pi a}$.
מאי-שוויון המשולש ניתן לראות כי:

${\displaystyle |z|^{2}=|z^{2}|=|z^{2}+1-1|\leq |z^{2}+1|+1}$

ולכן:

${\displaystyle |z^{2}+1|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0}$ כאשר ${\displaystyle a>1}$.

מכאן:

${\displaystyle \left|{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}}}$

כלומר ${\displaystyle M={\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}}}$, והחסם הוא:

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\,dz\right|\leq {\frac {\pi a}{(a^{2}-1)^{2}}}}$. הערך הזה שואף לאפס כאשר ${\displaystyle a}$ שואף לאינסוף, ומכאן ש-${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {\pi }{2}}}$.

• הלמה של ז'ורדן
• משפט השאריות