בירהוף החל את הקריירה כנער במועדונים בעיר אסן, ובשנת 1985 החל לשחק בבאייר אורדינגן, כאשר תוך שנה החל כבר לשחק בקבוצה הבוגרת, ששיחקה אז בבונדסליגה, במקביל לכך ששיחק בקבוצת הנוער. בעונתו הראשונה של בירהוף בבוגרים של אורדינגן, הוא הבקיע שלושה שערים, והיה חלק מחוליה התקפית מרשימה שכללה גם את שטפן קונץ, מרסל ויטצ'ק ופרידהלם פונקל. את העונה הזו סיימו בירהוף ואורדינגן במקום השמיני בבונדסליגה. בעונת 1987/88 הבקיע בירהוף שער בודד ופחת מספר ההופעות שלו, שכן הגיעו לקבוצה שחקני התקפה נוספים כריינהולד מאתי. בתום עונה זו, בה סיימה אורדינגן במקום ה-11 בבונדסליגה, עזב בירהוף את המועדון וחתם בהמבורג. בעונתו הראשונה בהמבורג הבקיע בירהוף שישה שערי ליגה, כשהוא משתף פעולה בהתקפה עם אובה ביין, תומאס פון היסן ויאן פורטוק. המבורג סיימה את עונת 1988/89 במקום ה-11. את עונת 1989/90 החל בירהוף בהמבורג, אך לא מצא את הרשת ולו פעם אחת בעשר הופעות ליגה, ובפגרת החורף חתם בתחנה האחרונה שלו בגרמניה בקריירה, בורוסיה מנשנגלדבך. גם בגלדבאך לא מצא בירהוף את הרשת בשמונה הופעות, והקבוצה סיימה את העונה במקום ה-15 לאחר מאבקי תחתית. בתום עונת 1989/90 עזב בירהוף את גלדבאך, ועבר לליגת הבונדסליגה האוסטרית, שם חתם באוסטריה זצלבורג. בירהוף שיחק עונה אחת בלבד בקבוצה, בה הציג יכולת מצוינת והבקיע 23 שערי ליגה ב-32 הופעות.
המעבר לאיטליה
בקיץ 1991 חתם בירהוף באסקולי, העולה הטרייה לליגת הסרייה א' האיטלקית. בירהוף ואסקולי נשרו לליגת הסרייה ב' כבר לאחר עונה אחת, כאשר סיימו במקום האחרון. בירהוף הבקיע בעונת הבכורה שלו במועדון שני שערי ליגה. בשתי העונות הבאות, בירהוף ואסקולי סיימו במקום השישי בסרייה ב', כאשר את עונת 1992/93 סיים בירהוף כמלך השערים של הסרייה ב', עם 20 הבקעות, ואת עונת 1993/94 סיים בירהוף עם 17 הבקעות. בעונת 1994/95 נשרו בירהוף ואסקולי אל הליגה האיטלקית השלישית, כאשר בירהוף הבקיע בעונה זו, שהייתה האחרונה שלו בקבוצה, תשעה שערי ליגה. בתום העונה, עזב בירהוף את אסקולי לאחר שהבקיע במדיה 48 שערי ליגה ב-117 הופעות, וחתם באודינזה.
בירהוף הוחתם על ידי אודינזה של המאמן אלברטו זאקרוני בקיץ 1995, ובקבוצה זו ביצע את הפריצה הגדולה שלו. בעונתו הראשונה בקבוצה, הבקיע בירהוף 17 שערי ליגה, וסייע לאודינזה לסיים במקום ה-11. הצלחתו של בירהוף הקנתה לו מקום בסגל הגרמני ליורו 1996. בעונת 1996/97, כאשר בירהוף זכה להכרה בעקבות שער הניצחון שלו בגמר יורו 1996, הבקיע בירהוף 13 שערים ואודינזה סיימה את הליגה במקום החמישי המפתיע. עונת 1997/98 הייתה האחרונה שלבירהוף באודינזה. בעונה זו, הוכתר בירהוף כמלך השערים של הסרייה א' כאשר הבקיע 27 שערי ליגה, ואודינזה סיימה את העונה במקום השלישי. הצלחתו של בירהוף הן באודינזה והן בנבחרת גרמניה במונדיאל 1998 הקנתה לבירהוף את תואר כדורגלן השנה בגרמניה, על אף שלא שיחק בבונדסליגה. הצלחה זו אף גררה התעניינות ממועדוני פאר, ובקיץ 1998 חתם בירהוף במילאן.
העונה הראשונה של בירהוף במילאן, 1998/99, הייתה מוצלחת במיוחד, כאשר בירהוף הבקיע 20 שערי ליגה, שניים פחות ממלך השערים מרסיו אמורוזו, ואחד פחות מסגנו גבריאל בטיסטוטה. בירהוף היה חלק בלתי נפרד מזכייתה של מילאן באליפות הסרייה א', מרחק נקודה אחת מסגניתה לאציו. בעונתו השנייה במילאן, 1999/00, הבקיע בירהוף 11 שערים, ומילאן סיימה במקום השלישי. בעונת 2000/01 בירהוף הבקיע שישה שערים בלבד, בעונה חלשה מאוד של מילאן, שסיימה במקום השישי, מרחק של 26 נקודות מהאלופה רומא. בתום עונה זו, עזב בירהוף את מילאן, לאחר שהבקיע במדיה 37 שערי ליגה ב-91 הופעות. בשנת 2015 נכנס בירהוף להיכל התהילה של מילאן.
שלהי הקריירה
בקיץ 2001 עזב בירהוף את איטליה לאחר עשור, וחתם במונקו הצרפתית, שם שיחק עונה אחת, בה הבקיע חמישה שערים. מונקו סיימה עונה זו במקום ה-15 בליגה הצרפתית, מרחק שש נקודות מהקו האדום. בתום עונה זו, עזב בירהוף את מונקו וחזר לאיטליה, שם חתם בקייבו ורונה, העולה הטרייה לסרייה א'. בירהוף הבקיע בעונה זו שבעה שערי ליגה, וסייע לקייבו לסיים במקום השביעי המפתיע. בתום עונה זו, פרש בירהוף ממשחק פעיל, כאשר במשחקו האחרון בקריירה, הבקיע שלושער בהפסד 4-3 ליובנטוס.
קריירה בינלאומית
בירהוף ערך את הופעת הבכורה במדי נבחרת גרמניה בפברואר 1996, במשחק ידידות מול נבחרת פורטוגל. כעבור חודש, מצא את הרשת לראשונה במדים הלאומיים, כאשר הבקיע צמד במשחק ידידות מול נבחרת דנמרק, שהסתיים בתוצאה 2-0 לגרמניה. בהמשך שנה זו, זומן בירהוף לסגל גרמניה ליורו 1996, שכלל חלוצים נוספים כיורגן קלינסמן, שטפן קונץ ופרדי בוביץ'. בירהוף לא קיבל הזדמנויות רבות במהלך היורו, כאשר נכנס כמחליף חמש דקות לסיום במשחק הראשון של גרמניה בשלב הבתים, ופתח בהרכב במשחק הניצחון 3-0 על נבחרת רוסיה, אך לא שיחק כלל במשחק השלישי של שלב הבתים, ברבע הגמר ובחצי הגמר. משחק הגמר של יורו 1996 מול נבחרת צ'כיה היה שעתו הגדולה של בירהוף, כאשר נכנס כמחליף במקומו של מהמט שול בדקה ה-69, במצב של 1-0 לנבחרת צ'כיה. בירהוף הבקיע את שער השוויון כעבור ארבע עשרה דקות, והביא את המשחק להארכה. חמש דקות מפתיחת ההארכה, הבקיע בירהוף שער זהב, שמשמעותו שהמשחק הסתיים מיד, וגרמניה זכתה ביורו 1996. בירהוף היה הראשון שהבקיע שער זהב בטורניר בינלאומי, ואף יצר דיון מחודש בנושא, שכן שיטת שער הזהב נתפסה כשיטה אכזרית שאין שום אפשרות לקבוצה הסופגת להינצל מההפסד. ואמנם, כעבור מספר שנים שונה החוק.
באוגוסט 1997, במשחק מול נבחרת צפון אירלנד במסגרת מוקדמות מונדיאל 1998, פיגרה גרמניה בתוצאה 1-0. 20 דקות לסיום, הכניס המאמן ברטי פוגטס את בירהוף ואת תומאס הסלר כמחליפים. הסלר בישל לבירהוף שלוש פעמים תוך שבע דקות, וגרמניה ניצחה 3-1. זה היה השלושער המהיר ביותר בתולדות נבחרת גרמניה. במונדיאל 1998 בירהוף כבר היה שחקן מוכר הרבה יותר, ומקומו בהרכב היה קבוע. בירהוף הבקיע בשלב הבתים של המונדיאל את השער השני בתיקו 2-2 מול נבחרת יוגוסלביה, ואת השער הראשון בניצחון 2-0 על נבחרת איראן. בשמינית הגמר, הבקיע בירהוף שער ניצחון דרמטי בדקה ה-86 של המשחק מול נבחרת מקסיקו, לאחר שגרמניה פיגרה 1-0 ויורגן קלינסמן השווה כמה דקות קודם לכן. למרות זאת, הופעתה של גרמניה במונדיאל זה הסתיימה במפח נפש, כאשר גרמניה הפסידה 3-0 לנבחרת קרואטיה ברבע הגמר. לאחר מונדיאל 1998, ירש בירהוף את סרט הקפטן מיורגן קלינסמן שפרש מהנבחרת.
בירהוף נכלל בסגל הגרמני ליורו 2000, אך ערך בו הופעה אחת בלבד, בתיקו 1-1 מול נבחרת רומניה. גרמניה הודחה בתום שלב הבתים של הטורניר. בשנת 2001 בירהוף העביר את סרט הקפטן לאוליבר קאן. בשנת 2002 השתתף בירהוף עם גרמניה בטורניר הגדול האחרון שלו, מונדיאל 2002. בירהוף נכנס כמחליף בשני משחקים בשלב הבתים, באחד מהם הבקיע שער, בניצחון 8-0 על נבחרת ערב הסעודית. גם בשלבי הנוק אאוט בירהוף עלה שלוש פעמים מהספסל, ולא שיחק יותר מעשרים דקות באף משחק. עם זאת, בירהוף קיבל הזדמנות בגמר מונדיאל 2002 מול נבחרת ברזיל, כאשר נכנס כמחליף בדקה ה-74 במקומו של מירוסלב קלוזה, במצב של 1-0 לברזיל. ברזיל לבסוף ניצחה 2-0 וזכתה במונדיאל. משחק זה היה ה-70 והאחרון של בירהוף במדים הלאומיים, בהם הבקיע 37 שערים.
לאחר פרישתו, בירהוף המשיך לעבוד בנבחרת גרמניה, בתפקידים ניהוליים בעיקר, ואף היה עוזרו של יואכים לב.
חיים אישיים
בשנת 2001, בירהוף נשא לאישה את קלרה שלנצי, דוגמנית ממינכן, שהייתה בעבר חברתו לחיים של הכדורסלן המנוח דראז'ן פטרוביץ', והייתה הנהגת בתאונה הקטלנית בה פטרוביץ' קיפח את חייו. בשנת 2007 נולדה להם בת.
.jpg)
