אזולאי, בנו של כדורגלן העבר משה אזולאי ששיחק בהפועל טבריה[1], גדל בטבריה והחל לשחק כדורגל במחלקת הנוער של עירוני טבריה, במדיה היה מלך השערים של קבוצת הנוער. בגיל 17 כבר שותף במספר משחקים של הקבוצה הבוגרת של המועדון בליגה א', ובינואר 2008 עבר לקבוצת הפועל כפר סבא, שם חתם על חוזה מקצועי לחמש עונות[2]. בתחילה שיחק במדי קבוצת הנוער של כפר סבא, אך בעונת 2008/2009 כבר הפך לשחקן הרכב קבוע בקבוצה הבוגרת. את שנתו השלישית בכפר סבא סיים כמלך השערים של הקבוצה בליגה הלאומית עם 15 שערים.
לאחר ההצלחה בכפר סבא רכשה מכבי חיפה בשנת 2010 את כרטיס השחקן שלו בעסקה שערכה כמיליון שקל, והוא חתם בחיפה לחמש שנים. ב-13 בספטמבר 2010 ערך אזולאי את הופעת הבכורה שלו בליגת העל, במשחק מול הפועל באר שבע. בעונתו הראשונה כשחקן מכבי חיפה כבש שישה שערים ובישל שישה נוספים (מלך הבישולים של הקבוצה), והיה שותף לזכייתה של מכבי חיפה באליפות המדינה לעונת 2010/2011, על אף שהיה פצוע למשך כמה חודשים במהלך העונה, וברוב המשחקים הוא עלה מהספסל.
בתחילת עונת 2011/2012 הושאל אזולאי לעירוני קריית שמונה, והיה שותף לזכייתה באליפות באותה עונה עם שמונה שערים וחמישה בישולים. בסיום העונה חזר למכבי חיפה, ובעונת 2012/2013 כבש שבעה שערי ליגה.
בתחילת עונת 2013/2014 כבש אזולאי שני שערים במדי מכבי חיפה, וב-13 בינואר2014 הושאל לבית"ר ירושלים עד תום העונה. ב-11 בפברואר 2014 כבש אזולאי את שער הבכורה שלו במועדון, בניצחון 1–0 על הפועל בני לוד במסגרת גביע המדינה. את שער הבכורה בליגה כבש אזולאי בניצחון 1–0 על מ.ס. אשדוד. בסך הכל ערך עד סוף העונה 15 הופעות בליגה במדי בית"ר ירושלים, בהן כבש שלושה שערים.
ב-3 בספטמבר2014 חתם אזולאי לשנתיים בהפועל תל אביב[3]. ב-13 בספטמבר 2014 ערך את הופעת הבכורה שלו במועדון, כשבמחזור הראשון של עונת 2014/2015 נכנס כמחליף בניצחון 1–0 על מכבי נתניה באצטדיון בלומפילד. ב-20 בדצמבר 2014 כבש את שער הבכורה שלו במדי הפועל תל אביב, בניצחון 2–0 על מכבי נתניה בפתיחת הסיבוב השני של ליגת העל. בסך הכול כבש אזולאי חמישה שערי ליגה במדי הפועל תל אביב והיה מלך שערי הקבוצה בעונה זו, ובסופה שוחרר מהמועדון.
ב-4 באוגוסט2015 חתם אזולאי לעונה אחת בבני סכנין. ב-5 באוקטובר כבש את שערו הראשון במדי הקבוצה, במשחק מול קבוצתו לשעבר בית"ר ירושלים. ב-1 במאי2016 כבש אזולאי שלושער בניצחון 3–0 על בית"ר ירושלים, ובסך הכול כבש בעונה זו 14 שערי ליגה והיה למלך השערים של הקבוצה בעונת 2015/2016, וסגן מלך השערים של ליגת העל בצוותא עם ניקיטה רוקאביציה ואליניב ברדה.
ב-11 ביולי2016 חתם אזולאי לשלוש שנים בעירוני קריית שמונה[4]. בעונת 2016/2017 כבש אזולאי שבעה שערים ב-30 הופעות ליגה. את העונה שלאחר מכן החל אזולאי בקריית שמונה, וב-5 בספטמבר2017 חזר לבני סכנין וחתם לשנתיים במועדון. בעונת 2017/2018 כבש שישה שערים ב-29 הופעות ליגה, ובעונת 2018/2019 כבש תשעה שערים ב-31 הופעות, אך בסופה ירדה הקבוצה לליגה הלאומית.
