רבי שאול אדאדי עשה לילות כימים בהפצת התורה בטריפולי. והיה בין מייסדי התלמוד תורה בעיר. הוא שכלל והגדיל את הישיבה שנוסדה על ידי אבי סבו ר' נתן אדאדי ואביו ר' אברהם חיים אדאדי, ומכספו הפרטי תרם והוסיף ספרים לספרית הישיבה. כיון שבנין הישיבה נעשה צר לתלמידים הרבים שהתדפקו על שעריו, הרחיב את הבניין למען יוכל כל מי שנפשו חשקה בתורה למצוא מקום בישיבה. לתלמידי החכמים הרבים שישבו ולמדו בה סייע בכספו כדי שיוכלו ללמוד תורה באין מפריע.
בעת שהותו של אביו ר' אברהם חיים אדאדי בצפת היה עמו בקשרי מכתבים, מלאים ברובם בדברי תורה שנתחדשו לר' אברהם בארץ ישראל, ותשובות בהלכה לשאלות ששאל בנו ר' שאול.
חברת "יגדיל תורה" החלה את פעילותה בשנת 1893 כשבין מקימיה היו ארבעה: ר' שאול אדאדי, ר' ציון צרור, ר' מסעוד ג'נאח ור' ניסים נחום כבר בשנה הראשונה של החברה למדו בבית הספר 330 תלמידים, עד לשנת 1905 למדו הילדים במבנים שונים ולא מוסדרים. בשנת 1905 הסתיימה הכשרתו של בניין ובו כיתות לימוד רבות. זהו בית הספר דאר סרוסי שבו למדו רבים מילדי טריפולי.
בבית הספר של "יגדיל תורה" מספר התלמידים המקסימלי בכל כיתה היה 45 בשיעורים רגילים ו-30 בשיעורי גמרא ורש"י. ר' שאול אדאדי התנדב לבחון פעם בשבוע את התלמידים בבית הספר על מנת לדעת את קצב התקדמותם.
בבית הכנסת דאר סרוסי המתנוסס בשוק הרחוב הגדול הקימו מתפלליו מצבת שיש לזכרו ועליה חרות ספור השתדלותו הרבה למען בנין בית הכנסת ויסוד התלמוד תורה.
