פונס מורי נולד במנדוסה שבארגנטינה ובגיל 10 היגר עם משפחתו לארצות הברית. אביו, מיגל, הוא כדורגלן עבר. בשנת 2008 הצטרף לקבוצת הנוער של דאלאס. כעבור חצי שנה, עבר פונס מורי, יחד עם אחיו רוחליו, למחלקת הנוער של ריבר פלייט, בה שיחק שלוש שנים. בקבוצה הבוגרת של ריבר, שיחק ארבע שנים וזכה עם הקבוצה בשישה תארים. בסך הכל, פונס מורי רשם 108 הופעות וכבש שערים בכל המסגרות, כולל שער ניצחון מול בוקה ג'וניורס בבונבוניירה במסגרת הליגה בטורניר פינאל 2014 ושער בגמר גביע ליברטדורס 2015, שני טורנירים בהן זכתה הקבוצה לבסוף.
ב-1 בספטמבר2015 פונס מורי חתם באברטון מהפרמייר ליג תמורת 9.5 מיליון אירו. ב-12 בספטמבר, פונס מורי ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה בניצחון 1–3 נגד צ'לסי. בנובמבר 2015, פונס מורי כבש את שערו הראשון בקבוצה בתיקו 3-3 נגד בורנמות'. באפריל 2016 הורחק בעקבות עימות עם דיבוק אוריגי בהפסד 0–4 לליברפול, ובעקבות העימות הורחק לשלושה משחקים. במרץ 2017 פונס מורי קרע את המיניסקוס ועקב כך נעדר לתקופה ארוכה שנמשכה כשנה.