פלניצ'קה נולד ב-2 ביוני 1904 בפראג שבאוסטרו-הונגריה של אותו הזמן. לכל אורך הקריירה שלו שיחק עבור סלביה פראג, שאז הקבוצה הייתה בתקופה הכי מצליחה שלה אי פעם. במשך 13 שנה שיחק פלניצ'קה בסלביה, בהן זכה עימה שבע פעמים בליגה הצ'כוסלובקית, 6 פעמים בגביע בוהמיה ופעם אחת בגביע מיטרופה. בסך הכל ערך בה 969 הופעות, בהן סלביה ניצחה 742 משחקים. למרות גובהו הנמוך בשביל שוער, פלניצ'קה היה בעל יכולות אקרובטיות טובות, דבר שהקנה לו את הכינוי "החתול של פראג".
במהלך טורניר גביע מיטרופה של 1932 פגשה סלביה את יובנטוס. במשחק הראשון סלביה הביסה אותה בתוצאה 0–4, ובמשחק השני סלביה התמקדה בעיקר בלמשוך את הזמן. דבר זה עצבן את אוהדי יובנטוס שהשליכו אבנים מהיציע לכר הדשא, כשאחד האבנים פגע קשה בפלניצ'קה שנפצע. סלביה החליטה לנטוש את המגרש והמשחק נפסק. כתוצאה מעזיבת המגרש שתי הקבוצות הושעו מהטורניר ובולוניה, שניצחה את חצי הגמר שלה, הוכרזה כזוכה.
בנבחרת צ'כוסלובקיה ערך פלניצ'קה 73 הופעות, וערך את הופעת הבכורה שלו ב-17 בינואר 1926, בהפסד 1–3 לאיטליה. במונדיאל 1934 עזר לה להעפיל לטורניר, והיה גם הקפטן שלה. צ'כוסלובקיה הגיעה עד לגמר בו הפסידה לאיטליה 1–2 בהארכה.
ארבע שנים לאחר מכן היה הקפטן שלה גם במונדיאל 1938, בו הנבחרת סיימה את דרכה ברבע הגמר לאחר הפסד לברזיל במשחק שנחשב לאחד המשחקים האלימים ביותר בהיסטוריית המונדיאל. שחקן מצ'כוסלובקיה ושניים מברזיל קיבלו כרטיס אדום, ושחקנים משני הצדדים סבלו מפציעות חמורות. במצב של 1–1 חלוץ נבחרת צ'כוסלובקיה, אולדז'יך ניידלי, עזב את המגרש עם רגל שבורה, ופלניצ'קה עצמו סיים את המשחק עם יד שבורה לאחר התקלות עם חלוץ ברזיל ז'וזה פראסיו. לאחר שהמשחק נגמר בתוצאה 1–1, הוא שוחזר יומיים לאחר מכן, ובו צ'כוסלובקיה הפסידה 2–1 ללא פלניצ'קה וחלוציה אולדז'יך ניידלי ואנטונין פוץ' הפצועים. בסיום הטורניר נבחר להיות לשוער המצטיין, וגם בנבחרת המצטיינת. משחקו של פלניצ'קה נגד ברזיל היה גם משחקו האחרון במדים הלאומיים.
לאחר הפרישה
לאחר פרישתו מקריירת משחק הוענק לו בשנת 1985 תואר מ-UNESCO על המשחק ההוגן שהציג לאורך הקריירה שלו. בשנת 1994 קיוה כי בעודו בחיים יוכל לראות את סלביה זוכה באליפות פעם נוספת, ולאחר שחיכה במשך כ-48 שנה, סלביה זכתה באליפות בעונת 1995/96. חודשיים לאחר זכייתה פלניצ'קה נפטר ב-20 ביולי 1996 בפראג, בגיל 92. הוא היה לשחקן האחרון שנשאר בחיים מסגל נבחרת צ'כוסלובקיה של מונדיאל 1934, וגם לשחקן האחרון ששיחק במשחק הגמר של אותו טורניר.
