בתורת ההסתברות, פונקציה יוצרת-הסתברות של משתנה מקרי, היא ייצוג על ידי טור חזקות של פונקציית ההסתברות של המשתנה המקרי.

יהי ${\displaystyle X}$ משתנה מקרי המקבל ערכים שלמים אי-שליליים. אז עבור ${\displaystyle s\in (0,1)}$, פונקציה יוצרת הסתברות של ${\displaystyle X}$ היא$${\displaystyle g_{X}(s):=\mathbb {E} [s^{X}]=\sum _{n=0}^{\infty }P(X=n)s^{n}}$$

עבור משתנה מקרי ${\displaystyle X}$, מתקיים ${\displaystyle P(X=n)={\frac {g_{X}^{(n)}(0)}{n!}}}$ועבור ${\displaystyle P(X=\infty )=P(\infty )=1-g_{x}(1^{-})}$

עבור משתנה מקרי ${\displaystyle X}$, הפונקציה ${\displaystyle g_{X}(s)}$ קובעת את התפלגות ${\displaystyle X}$ באופן יחיד

עבור זוג משתנים מקריים בלתי תלויים, ${\displaystyle X,Y}$ מתקיים שהפונקציה יוצרת-ההסתברות של הסכום שלהם היא ${\displaystyle g_{X+Y}(s)=g_{X}(s)g_{Y}(s)}$

יהי ${\displaystyle N}$ משתנה מקרי, ויהיו ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}}$ סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות, ונסמן ${\displaystyle T=X_{1}+...+X_{N}}$. אז הפונקציה יוצרת ההסתברות של ${\displaystyle T}$ היא$${\displaystyle g_{T}(s)=g_{N}(g_{X_{1}}(s))}$$

יהי משתנה מקרי ${\displaystyle X}$ המתפלג פואסונית ${\displaystyle X\thicksim Poi(\lambda )}$, הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא

${\displaystyle g_{X}(s):=\sum _{n=0}^{\infty }P(X=n)s^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }}{n!}}\lambda ^{n}s^{n}=e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\lambda s)^{n}}{n!}}=e^{-\lambda }e^{\lambda s}=e^{\lambda (s-1)}}$

יהי משתנה מקרי ${\displaystyle X}$ המתפלג גאומטרית ${\displaystyle X\thicksim G(p)}$, הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא

${\displaystyle g_{X}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }P(X=n)s^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(1-p)^{n-1}ps^{n}=ps\sum _{n=0}^{\infty }(1-p)^{n}s^{n}=ps{\frac {1}{1-s(1-p)}}}$

הערה:

יהי משתנה בינומי שלילי המתפלג ${\displaystyle Y\thicksim NB(r,p)}$. ידוע לנו שכל משתנה בינומי שלילי הוא סכום של משתנים גאומטריים בלתי תלויים ולכן מהנוסחה של סכום פונקציות יוצרות מתקיים ${\displaystyle g_{Y}(s)=(g_{X}(s))^{r}}$.

• Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete distributions (2nd edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (Section 1.B9)

• הסבר כללי על פונקציה יוצרת הסתברות, מועבר על ידי מארק וויליס

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.