עקרון ההכלה וההפרדה

עֶקְרוֹן הַהֲכָלָה וְהַהַפְרָדָה או עֶקְרוֹן הַהֲכָלָה וְהַהֲדָחָה הוא עיקרון קומבינטורי שלפיו, כדי לספור עצמים בקבוצה, אפשר לכלול ולהוציא את אותו עצם שוב ושוב, כל עוד בסוף ההליך נספר כל עצם פעם אחת. עיקרון זה מתורגם לנוסחה שיש לה שימושים וגרסאות רבות בכל ענפי הקומבינטוריקה.

כוחו של עקרון ההכלה וההדחה בכך שהוא מאפשר להמיר בעיה קומבינטורית מסובכת הדורשת ניתוח של האינטראקציות בין כל הקבוצות בבת-אחת, בבעיות קלות יותר שבהן מספיק לספור את האיברים השייכים לקבוצות מסוימות, בלי שיהיה צורך לבדוק את מעמדם של האיברים האלה ביחס לשאר הקבוצות.

ניסוח העיקרון

תהיינה קבוצות סופיות. אז גודל האיחוד שווה לסכום המתחלף , כלומר: . אם מסכימים שחיתוך אפס קבוצות שווה למרחב כולו, אפשר לקבל נוסחה אלגנטית למספר האיברים שמחוץ לאיחוד: .

במקרים רבים גודל החיתוך של כל k קבוצות הוא קבוע, ואז מתקבלת נוסחה פשוטה יותר, .

דוגמאות

המקרה הפשוט ביותר מתייחס לספירת עצמים המקיימים אחת משתי תכונות, למשל: גדול או אדום.

  1. מספר העצמים שהם גדולים או אדומים, שווה למספר העצמים הגדולים ועוד מספר העצמים האדומים.
  2. פחות מספר העצמים שהם גם גדולים וגם אדומים.

האיברים בשלב השני נספרו פעמיים בשלב הראשון (פעם ראשונה כאדומים, פעם שנייה כגדולים) לכן יש להחסיר אותם.

באופן פורמלי, אם היא קבוצת העצמים האדומים, ו- היא קבוצת העצמים הגדולים, אז הגודל של האיחוד בניהן יְחוּשַּׁב כך: .

במקרה הכללי, העיקרון קובע שגודל האיחוד של כמה קבוצות שווה לסכום מתחלף: סכום הגדלים של כל הקבוצות, פחות סכום הגדלים של חיתוכים של שתי קבוצות, ועוד סכום הגדלים של חיתוכים של שלוש קבוצות, פחות סכום הגדלים של חיתוכים של ארבע קבוצות, וכן הלאה.

נוסחת ההכלה וההפרדה לגודל האיחוד של שלוש קבוצות היא .

נראה כיצד ניתן לחשב את מספר התמורות על איברים שבהן אף איבר אינו נשאר במקומו. כדי להפעיל את עקרון ההכלה וההדחה, נסמן ב- את קבוצת התמורות שבהן האיבר ה-i דווקא נשאר במקומו. השאלה היא כמה תמורות נמצאות מחוץ לכל הקבוצות, ומכיוון שמספר התמורות הכללי הוא , די לספור כמה תמורות שייכות לקבוצה אחת לפחות; כלומר, לחשב את . בחיתוך של k קבוצות נמצאות התמורות שמשאירות את k האיברים המתאימים במקומם, בלי קשר לשאלה מה הן עושות בשאר האיברים. לכן גודל החיתוך הוא , וזאת לכל אחת מ- הבחירות של האיברים השונים . לפי עקרון ההכלה וההדחה, . הסיכוי שתמורה אקראית תהיה שייכת לקבוצה הזאת הוא , שהוא קירוב טוב מאוד למספר .

הוכחת העיקרון

כדי להוכיח את השוויון , נבדוק כמה פעמים נספר איבר x בשני האגפים. אם x אינו שייך לאף קבוצה, אז הוא נספר פעם אחת באגף שמאל, ופעם אחת (במסגרת החיתוך הריק, עבור k=0) באגף ימין. אחרת, נניח שהוא שייך בדיוק ל-m קבוצות, ומטעמי סימטריה אפשר להניח שאלו הן הקבוצות ; בפרט, x אינו שייך לקבוצות . במקרה כזה האיבר נספר באגף ימין בדיוק פעמים לפי נוסחת הבינום של ניוטון, בדיוק כמו באגף שמאל.

ראו גם

קישורים חיצוניים

Read other articles:

PanGambar Pan dari Cassini di 2017.[a]PenemuanDitemukan olehM. R. ShowalterTanggal penemuan16 Juli 1990PenamaanKata sifat bahasa InggrisPanCiri-ciri orbit[1]Sumbu semimayor133.584,0±0,1 kmEksentrisitas0,0000144±0,0000054Periode orbit0,575050718 h (13,801217 j)Inklinasi0,0001°±0,0004°Satelit dariSaturnusCiri-ciri fisikDimensi34.4 × 31.4 × 20.8 kmJari-jari rata-rata14,1±1,3 km[2]Massa(4,95±0,75)×1015 kg[2...

 

 

العلاقات التشيكية الإثيوبية التشيك إثيوبيا   التشيك   إثيوبيا تعديل مصدري - تعديل   العلاقات التشيكية الإثيوبية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين التشيك وإثيوبيا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه المقارن...

 

 

Wrestling at the Olympics Men's Greco-Roman heavyweightat the Games of the XIV OlympiadVenueEmpress Hall, Earls Court Exhibition CentreDates3–6 AugustCompetitors9 from 9 nationsMedalists Ahmet Kireççi  Turkey Tor Nilsson  Sweden Guido Fantoni  Italy← 19361952 → Wrestling at the1948 Summer OlympicsGreco-RomanFlymenBantammenFeathermenLightmenWeltermenMiddlemenLight heavymenHeavymenFreestyleFlymenBantammenFeathermenLightmenWeltermenMiddlemenLigh...

تشازي   الإحداثيات 44°51′29″N 73°27′46″W / 44.8580956°N 73.4629136°W / 44.8580956; -73.4629136   [1] تقسيم إداري  البلد الولايات المتحدة[2]  التقسيم الأعلى مقاطعة كلينتون  خصائص جغرافية  المساحة 61.32 ميل مربع  ارتفاع 58 متر،  و48 متر[3]  عدد السكان  عدد السك...

 

 

Peri Gilpin Peri Gilpin, vero nome Peri Kay Oldham (Waco, 27 maggio 1961), è un'attrice statunitense, conosciuta per il ruolo di Roz Doyle nella sit-com Frasier. Indice 1 Biografia 2 Filmografia 2.1 Cinema 2.2 Televisione 3 Doppiatrici italiane 4 Collegamenti esterni Biografia Figlia di un prete battista divenuto poi musicista, presentatore radiofonico e mezzobusto televisivo a Filadelfia (morto in un incidente di paracadutismo il 25 settembre 1983), e sorella di altri due attori (Marc e Apr...

 

 

Pelagianisme adalah paham yang meyakini bahwa dosa asal tidak merusak hakikat manusia (yakni hakikat ilahi, karena manusia diciptakan dari Allah), dan bahwa dengan kehendaknya yang fana manusia masih sanggup untuk memilih yang baik atau yang buruk tanpa pertolongan ilahi. Dengan demikian, dosa Adam memberikan teladan yang buruk bagi keturunannya, tetapi tindakan-tindakan Adam tidak mengandung konsekuensi-konsekuensi lain yang dihubung-hubungkan dengan dosa asal. Dari sudut pandang Pelagianism...

2018 book by Yoram Hazony First edition (publ. Basic Books) The Virtue of Nationalism is a 2018 book by Israeli-American political theorist Yoram Hazony. Contents Hazony argues that the nation state is the best form of government that humans have yet invented, contrasting both with historical empires and modern forms of global governance including United Nations affiliated institutions such as the International Court of Justice.[1][2] In particular, Hazony argues that national...

 

 

Sporting event delegationEthiopia at the1972 Summer OlympicsIOC codeETHNOCEthiopian Olympic CommitteeWebsitewww.ethiolympic.orgin MunichCompetitors31 (men) in 3 sportsFlag bearer Mamo Wolde (Athletics)MedalsRanked 41st Gold 0 Silver 0 Bronze 2 Total 2 Summer Olympics appearances (overview)19561960196419681972197619801984–1988199219962000200420082012201620202024 Ethiopia competed at the 1972 Summer Olympics in Munich, West Germany. 31 competitors, all men, took part in 20 events in 3 s...

 

 

Billy WilderWilder dengan Gloria Swanson selama syuting Sunset Blvd.LahirSamuel Wilder(1906-06-22)22 Juni 1906Sucha, Galicia, Austria-Hungary (now Sucha Beskidzka, Poland)Meninggal27 Maret 2002(2002-03-27) (umur 95)Beverly Hills, California, United StatesPekerjaanFilm director, producer and screenwriterTahun aktif1929-1995Suami/istriJudith Coppicus (1936-1946) Audrey Young (1949-2002)PenghargaanSutradara Terbaik1945 The Lost Weekend1960 The Apartment Billy Wilder (22 Juni 1906 ...

Untuk perjanjian yang ditangguhkan, lihat Kemitraan Trans-Pasifik. Perjanjian Komprehensif dan Progresif untuk Kemitraan Trans-PasifikPeratifikasi (hijau tua)Penandatangan lainnya (hijau muda)Penerap (jingga)JenisPerjanjian dagangDitandatangani8 Maret 2018LokasiSantiago, ChiliDimeterai23 Januari 2018Efektif30 Desember 2018Syarat60 hari setelah ratifikasi oleh 50^ penandatangan, atau setelah enam penandatangan meratifikasiPenanda tangan 12  Australia  Brunei  Kanada  Chili ...

 

 

Cinta SelamanyaPoster filmSutradaraFajar NugrosProduserSusanti DewiDitulis olehPiu SyarifBerdasarkanFira & Hafezoleh Fira BasukiPemeranAtiqah HasiholanRio DewantoShalom RazadeWidi MuliaAgus KuncoroDwi SasonoLukman SardiNungki KusumastutiTio PakusadewoDewi IrawanAmanda SoekasahJanna JoesoefWulan GuritnoPenata musikTya Subiakto SatrioSinematograferYadi SugandiPenyuntingAline JusriaDistributorKaninga PicturesDemi Istri ProductionTanggal rilis30 April 2015Negara IndonesiaBahasaIndo...

 

 

ملعب الجنرال سيني كونتشيمعلومات عامةسمّي باسم سيني كونتشي المنطقة الإدارية نيامي البلد  النيجر[1] التشييد والافتتاحالافتتاح الرسمي 1989 الاستعمالالرياضة كرة القدم المستضيف منتخب النيجر لكرة القدم نادي يونيون سبورتيف جيندراماري معلومات أخرىالطاقة الاستيعابية 35٬000 ...

安哥拉经济货币安哥拉寬扎 (AOA)财政年度歷年贸易组织非洲联盟, 世界貿易組織统计数据GDP$1149.5億美元(2008[update]年)GDP增长率13.2%[1]人均GDP$8,800 (2008[update]年)各产业GDP農業(9.2%),工業(65.8%),服務業(24.6%) (2008[update]年)[1]通货膨胀(CPI)12.5% (2008[update]年)[1]贫困人口40.5% (2006[update]年估計值)[1]劳动力776.9萬 (2009[...

 

 

1940 United States Senate election in Minnesota ← 1934 November 5, 1940 1946 →   Nominee Henrik Shipstead Elmer A. Benson John E. Regan Party Republican Farmer–Labor Democratic Popular vote 641,049 310,875 248,658 Percentage 53.01% 25.71% 20.56% County resultsShipstead:      30–40%      40–50%      50–60%      60–70%      70–...

 

 

Rüdiger Görner, Januar 2015 Rüdiger Görner (* 4. Juni 1957 in Rottweil) ist ein deutscher Literaturwissenschaftler. Er ist Gründungsdirektor des Zentrums für Britisch-Deutsche Kulturbeziehungen (englisch Centre for Anglo-German Cultural Relations)[1] und Herausgeber des Jahrbuchs Angermion. Yearbook for Anglo-German Literary Criticism, Intellectual History and Cultural Transfers, das sich mit britisch-deutschen Kulturbeziehungen auseinandersetzt.[2] Von 1999 bis 2004 war...

Plane figure, bounded by circle 2-ball redirects here. For the basketball event, see 2Ball. For other uses, see Disc. Disk with   circumference C   diameter D   radius R   center or origin O In geometry, a disk (also spelled disc)[1] is the region in a plane bounded by a circle. A disk is said to be closed if it contains the circle that constitutes its boundary, and open if it does not.[2] For a radius, r {\displaystyle r} , an open disk...

 

 

Lolette PayotLolette Payot nel 1929Nazionalità Svizzera Francia (dal 1937) Tennis Carriera Singolare1 Vittorie/sconfitte Titoli vinti Miglior ranking 4ª (1934)[1] Risultati nei tornei del Grande Slam  Australian Open  Roland Garros QF (1932, 1934, 1935)  Wimbledon QF (1931, 1933, 1934)  US Open Doppio1 Vittorie/sconfitte Titoli vinti Miglior ranking Risultati nei tornei del Grande Slam  Australian Open  Roland Garros SF (1933)  Wimbledon ...

 

 

هرنان دياز   معلومات شخصية الميلاد 26 فبراير 1965 (العمر 59 سنة)بارانكاس  الطول 1.75 م (5 قدم 9 بوصة) مركز اللعب مدافع الجنسية الأرجنتين  المسيرة الاحترافية1 سنوات فريق م. (هـ.) 1985 روزاريو سنترال 3 (0) 1986 لوس أنديس 16 (3) 1986–1989 روزاريو سنترال 102 (6) 1989–1999 ريفر بليت 253 (13) 2000 أت�...

هذه المقالة بحاجة لصندوق معلومات. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة صندوق معلومات مخصص إليها. سلطة قمح سلطة القمح هي نوع من السلطات العربية تتكون من القمح والذرة والطماطم والجزر والخيار والمخلل والليمون والبقدونس وزيت الزيتون والملح.[1] المصادر ^ طريقة عمل سلطة ال�...

 

 

English footballer (born 1962) Gary Brazil Brazil in 2010Personal informationFull name Gary Nicholas Brazil[1]Date of birth (1962-09-19) 19 September 1962 (age 62)[1]Place of birth Royal Tunbridge Wells, England[1]Height 5 ft 11 in (1.80 m)[2]Position(s) Midfielder, strikerYouth career1979–1980 Crystal PalaceSenior career*Years Team Apps (Gls)1980–1985 Sheffield United 62 (9)1984 → Port Vale (loan) 6 (3)1985–1989 Preston North End 16...