עודד ירקוני היה דור עשירי בישראל מצד אמו, הגננת הניה ירקוני. הניה הייתה בתם של יוסף אלתר קלונימוס ליבוביץ', המכונה "ר' אלתר מיהוד" ושל חנה אזולאי, נצר לרב חיים יוסף דוד אזולאי, המכונה "החיד"א".
עם תום המלחמה סיים את הכשרתו כמורה והחל ללמד בבית הספר "הכרמל" (כיום גבריאלי) בתל אביב. בשנת 1947 הקים את מחלקת הקשר של מפקדת הגוש. עם פרוץ מלחמת העצמאות לחם כקצין קשר גדודי בגדוד 145 של חטיבת אלכסנדרוני, שהגנה על פתח תקווה וסביבתה. לאחר המלחמה חזר לבית ספר הכרמל כסגן המנהל. בשנת 1956 לחם כקצין קשר גדודי במלחמה נגד מצרים במבצע סיני.
משנת 1956 ועד שנת 1973 ניהל את בית הספר היסודי "נווה עוז" בפתח תקווה והוביל אותו לזכייה בפרס חינוך ארצי.
במשך כל חייו עסק ירקוני בחינוך. לאחר שסיים את תפקידו בנווה עוז, מונה למפקח מטעם משרד החינוך על בתי הספר באזור שכונת התקווה, יהוד ולוד. נסע פעמיים לשליחות חינוכית בעיר מונטווידאו באורוגוואי. כמו כן, במשך עשרים שנה ניהל תיכון ערב מטעם עיריית פתח תקווה למבקשים להשלים בגרויות, והיה גם מנחה בחינוך הקהילתי של חברת המתנ"סים.
בגיל 75 פרש מפעילותו כמחנך והיה לפעיל מרכזי בארגון גמלאי ההגנה, שם עסק בשימור מורשת ההגנה בקרב בתי הספר בעיר. שניים מתלמידיו ששמרו איתו על קשר לאורך כל שנות חייו, איש העסקים שמחה לוסטיג ואיש החינוך ד"ר יוסף לנג, אמרו על ירקוני: "הוא נטע בנו את אהבת ארץ ישראל. הוא היה דמות לחיקוי וחינך אותנו לאהבת האדמה. דיבר איתנו תמיד בגובה העיניים".[דרוש מקור]
