PROFILPELAJAR.COM

סדרת סילבסטר היא סדרה של מספרים טבעיים, המוגדרת לפי נוסחת הנסיגה $\ s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1$ , כאשר $\ s_{1}=2$ . הסדרה נקראת על שמו של המתמטיקאי היהודי בריטי ג'יימס ג'וזף סילבסטר.

בסדרה זו מתקיים שכל איבר שווה למכפלה של קודמיו בסדרה בתוספת 1, לפי היחס $\ s_{n}=1+\prod _{i=1}^{n-1}s_{i}$ , וכך אפשר לראות שכל שני מספרים בה זרים זה לזה. תכונה זו מספקת הוכחה מיידית למשפט של אוקלידס שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים: לכל איבר בסדרה יש מחלק ראשוני, ואלו חייבים להיות שונים זה מזה.

חשיבותה העיקרית של סדרת סילבסטר בכך שמבין כל הפתרונות למשוואה הדיופנטית $\ {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}=1$ בנעלמים $\ 0<x_{1}\leq x_{2}\leq \dots \leq x_{n}$ , עבור $\ n$ טבעי כלשהו, הפתרון שבו $\ x_{n}$ הוא הגדול ביותר מתקבל מ- $\ n$ איברי סדרת סילבסטר הראשונים, לפי הנוסחה $\ {\frac {1}{s_{1}}}+\dots +{\frac {1}{s_{n-1}}}+{\frac {1}{s_{n}-1}}=1$ . בפרט, למשוואה זו יש מספר סופי של פתרונות.