גיני נולד בשנת 1938 למרים ויצחק. יצחק עלה בגפו מטורקיה בעקבות סבו שהיה חייל במלחמת העולם הראשונה ושנפל בארץ במלחמה זו. האם מרים עלתה ממרוקו. ניסים היה השלישי בין ארבעת ילדיהם.
בגיל תשע וחצי שימש כתצפיתן וכקשר המעביר ידיעות בין עמדות הלוחמים ברובע היהודי בתקופת מלחמת העצמאות. גם אחותו בת ה-14 ואחיו בן ה-12 סייעו ללוחמים.
ב-ט"ז באיירתש"ח, 25 במאי 1948, לאחר שכבר סיים את משמרתו כתצפיתן, שב לעמדת השמירה, וכאשר הבחין בתנועה חשודה הוציא את ראשו, ונפגע. הוא נפצע קשה מכדור שנורה מידי צלף. הקליע פגע באקדח מאוזר שהיה בעמדה, קנה האקדח התפוצץ ורסיסים פגעו בפניו. הקליע עצמו נכנס מהלחי ויצא מהעורף. ביום למחרת, י"ז באייר תש"ח, 26 במאי 1948, נפטר מפצעיו. הוא נמנה עם שמונה חללים שנותרו בבתי מחסה מבלי שלוחמי הרובע הספיקו לקוברם, ונקברו על ידי ערבי מקומי. לאחר מלחמת ששת הימים נתגלו שרידיהם, בכללם גופתו של גיני שזוהתה בוודאות עקב העובדה שהיה היחיד שעוד היו בפיו שיני חלב והועברו לקבר האחים לחללי הרובע היהודי.
גיני היה צעיר הנופלים במלחמות ישראל ככלל ובמלחמת העצמאות בפרט, שבמהלכה ולקראתה גויסו מאות נערים בני 12 ומעלה לפעילות צבאית בארגון "ההגנה", במסגרת הגדנ"ע ובמסגרות אחרות.
